https://virgool.ir/feed/@hilbert.cantorfa2026-11-11 01:43:03https://files.virgool.ir/upload/users/19416/avatar/avatar.pnghttps://virgool.ir/@hilbert.cantorhttps://virgool.ir/@hilbert.cantor/ذهنِ-بازگشتی-فضای-لگاریتمی-و-اعدادِ-اول-jj7rbgrtwivhحدود ۴۰ هزار سال پیش، در جایی که امروزه به نام کنگو شناخته می‌شود، برخی از نیاکان ما تکه‌ای استخوان و ابزاری سنگی را برداشتند و به کار پرداختند. شیارهایی که بر آن حک کردند، آگاهانه و هدفمند بودند و به‌روشنی قرار بود معنایی را منتقل کنند. امروزه این نشانه‌ها را به‌عنوان شکل‌های اولیه ی شمارش می‌شناسیم. با دقت بیشتر، نکته‌ای حتی جالب‌تر آشکار می‌شود: این شیارها در گروه‌های متمایز سازمان‌دهی شده‌اند. این امر نشان می‌دهد که آن‌ها به‌طور جداگانه حک شده‌اند تا شمارش چندین مورد آسان‌تر شود یا اعداد بزرگ‌تری را نمایش دهند.بنیادی‌ترین عمل در ریاضیات شمارش است، اما برخلاف آنچه در نگاه نخست به نظر می‌رسد، شمارش کاری پیچیده از نظر شناختی است و کشف و تسلط بر آن زمان زیادی از ما گرفت. بسیاری از جانوران دیگر توانایی محدودی در شمارش دارند. شمارش، در ابتدایی‌ترین سطح خود، به حافظهٔ کوتاه‌مدت ما مربوط می‌شود. در آزمایشی مشهور با کلاغ‌ها، پژوهشگران دریافتند که آن‌ها می‌توانند تا ۵ مورد را بشمارند. کلاغ‌ها در آزمایشگاه آموزش دیدند تا به نشانه‌های دیداری و شنیداری‌ای که یک عدد را نشان می‌داد پاسخ دهند (برای مثال، نماد یا آوایی که متناظر با عددی از ۱ تا ۴ بود). پرندگان باید همان تعداد آوا (قارقار) تولید می‌کردند و سپس با نوک زدن به صفحه‌ای نشان می‌دادند که کارشان تمام شده است. اما حافظهٔ کوتاه‌مدت همهٔ ماجرا نیست؛ زیرا حتی در مقایسه با گونه‌های بسیار نزدیک مانند شامپانزه‌ها، ما حافظهٔ کوتاه‌مدت قابل‌قیاسی نداریم. با این حال، می‌توانیم تقریباً بدون محدودیت بشماریم! این چگونه ممکن است؟نخستین شکل‌های شمارش در گونهٔ انسان بر نوشتن و ثبت بیرونی تکیه داشتند؛ اغلب به صورت شیارهایی که بر استخوان، چوب یا سنگ حک می‌شدند و نشان‌دهندهٔ کارکردی ساده برای ثبت یا شمارش بودند. این کار به انسان‌ها کمک کرد تا بار شناختیِ نگه‌داشتن هم‌زمانِ چیزهای بسیار را از ذهن به بیرون منتقل کنند: شکلی از شناختِ گسترش‌یافته. اما هم‌زمان، با پدید آمدن زبان، راه‌های تازه‌ای برای شمارش در این ابزار شناختیِ مشترک یافتیم؛ یعنی زبان، که «اعداد» را در بیناذهنیت (Intersubjectivity) ما رمزگذاری می‌کند. به این ترتیب، ما اعداد و دستگاه‌های عددی را پدید آوردیم.در کتاب «ذهنِ بازگشتی: خاستگاه‌های زبان، اندیشه و تمدن انسانی»، کوربالیس دیدگاه رایجِ سنتی را که زبان را عامل اصلی تمایز انسان از دیگر گونه‌ها می‌داند، به چالش می‌کشد. او در عوض استدلال می‌کند که آنچه واقعاً ما را متمایز می‌سازد، توانایی اندیشیدنِ بازگشتی (recursive) است. این توانایی نه‌تنها به پیدایش زبان انجامید، بلکه امکان «اندیشیدن دربارهٔ اندیشیدن»، سفر ذهنی در زمان، نظریهٔ ذهن و در نهایت فرهنگ را فراهم کرد. انسان‌تباران نخستین در دورهٔ پلیستوسن با محیط‌هایی پیچیده روبه‌رو بودند که در آن‌ها برنامه‌ریزیِ انعطاف‌پذیر و همکاری اجتماعی مزیت‌های حیاتی برای بقا محسوب می‌شد. بازگشت‌پذیری به انسان‌ها قدرت پیش‌بینی بهتر، حافظهٔ کارآمدتر و هماهنگی اجتماعیِ بالاتری بخشید.زادگاه ریاضیات در همهٔ فرهنگ‌ها همواره با شمارش و نظام‌های عددی گره خورده است. وجه مشترکِ همه ی این نظام‌های عددی در سراسر جهان و در طول تاریخ آن است که همگی شیوه‌های تازه‌ای برای نام‌گذاریِ گروه‌ها و اعمالِ بازگشت‌پذیری‌اند. می‌توان گفت مهم‌ترین جنبه ی شمارش «بازگشت‌پذیری» است: ذهن می‌تواند بشمارد، زیرا قادر است اشیا را گروه‌بندی کند، سپس گروه‌ها را گروه‌بندی کند، سپس گروهِ گروه‌ها را، و همین‌طور ادامه دهد. در ساده‌ترین حالت، این گروه‌بندی می‌تواند دو شیء باشد (زیرا گروه‌های یک‌تایی قابلِ بازگشت نیستند)، اما اگر بتوانید با انگشتان‌تان بشمارید، می‌توانید در گروه‌های ۵ یا ۱۰ نیز بشمارید. بازگشت‌پذیری جوهرهٔ اعداد طبیعی و حساب است؛ چنان‌که این امر را می‌توان در اصل پنجمِ اصول موضوعهٔ پئانو نیز مشاهده کرد.تمایز نهادن میان «تکرار» (repetition) و «بازگشت‌پذیری» (recursion) امری اساسی است. تکرارِ صرف شما را به همان سطح ساختاری‌ای که از آن آغاز کرده‌اید بازنمی‌گرداند؛ بلکه فقط چیزهای بیشتری از همان نوع تولید می‌کند. اگر اشیا را بی‌هدف گروه‌بندی کنید، به جایی نمی‌رسید: مجموعه‌ای از گروه‌ها خواهید داشت، بی‌آنکه سازمان‌دهی تازه‌ای پدید آید. شمارش، در مقابل، بر گروه‌بندیِ بازگشتی استوار است: همان عمل نه‌فقط بر اشیا، بلکه بر خودِ گروه‌ها نیز اعمال می‌شود. در مدرسه می‌آموزیم که نظام‌های عددی بر بازگشت‌پذیریِ گروه‌های ۱۰تایی بنا شده‌اند: اشیا را در ده‌تایی ها گروه‌بندی می‌کنیم، سپس آن گروه‌ها را باز هم در ده تایی ها از ده‌تایی ها گروه‌بندی می‌کنیم، و این فرایند را بی‌نهایت ادامه می‌دهیم.این کنشِ ابتداییِ گروه‌بندی و بازگشت‌پذیری به ما کمک می‌کند اعداد بزرگ‌تری مانند ۵۰ را درک کنیم، زیرا می‌توانیم آن را به‌صورت گروهی بازگشتی از ۱۰ و ۵ (یا برعکس) تصور کنیم. اما به‌محض آنکه به گروه‌بندیِ اشیا در قالب گروه‌های غیر بدیهی (بیش از یک) می‌اندیشیم، به وضعیتی جالب می‌رسیم: عملِ گروه‌بندی و تکرار برای همه ی اعداد کارساز نیست! برای مثال، اگر به عدد ۲۳ فکر کنید، هیچ راه تمیز و منظمی وجود ندارد که بتوان آن را به‌طور بازگشتی تجزیه کرد، بی‌آنکه چیزی باقی بماند. چنین اعدادی، به‌جای آنکه محصول ابزارِ بازگشتیِ ذهن باشند، خودْ گروه‌های بنیادین و اتمی‌اند. یونانیان باستان دریافتند که اعدادِ اول، آجرهای سازندهٔ ریاضیات و به‌نوعی سازه‌های بنیادیِ جهان‌اند.قضیهٔ بنیادیِ حساب نشان می‌دهد که هر عددی را می‌توان به‌طور تکراری به شمارشی مبتنی بر تعدادِ بازگشت‌ها بر اعدادِ اولش فروکاست. برای نمونه، عدد ۱۲ را می‌توان دو بار بر ۲ تقسیم کرد (ابتدا به دو گروه، سپس هر گروه دوباره بر ۲)، و یک بار نیز بر ۳ تقسیم کرد.کنشِ بازگشت‌پذیری به تولد نوعی حافظهٔ مشترکِ نو در فرهنگ ما انجامید؛ حافظه‌ای که دارای «ظرفیت اطلاعاتی» است. فضای لگاریتمی همان فضای «کُد» است، یا به بیان دیگر، شمارِ دفعاتی که بازگشت‌پذیری اعمال می‌شود. بدیهی است که این امر فراتر از اعداد می‌رود و به جبر، به کل ریاضیات، و حتی فراتر از آن گسترش می‌یابد. نظریهٔ برهان نشان می‌دهد که قضایا در ریاضیات ماهیتی بازگشتی دارند. بعدها، این مسیر به نظریهٔ محاسبه انجامید که بر حساب لامبدا استوار است؛ نظامی که کاملاً بازگشتی است. در سراسر علوم نظریِ رایانه، بازگشت‌پذیری همه‌جا حضور دارد: از ماشین‌های تورینگ گرفته تا مدل‌های نوین هوش مصنوعی (چه مدل‌های زبانی و چه مدل‌های انتشار).بازگشت‌پذیری، به‌عنوان ابزاری بنیادیِ ذهن، حقیقتی عمیق را آشکار می‌کند: بازگشت‌پذیری در اندازهٔ گروه‌هایی که می‌تواند بر آن‌ها عمل کند، محدودیت دارد. به بیان دیگر، بازگشت‌پذیری همواره چیزی را بیرون می‌گذارد که قابلِ بازگشت نیست! و این امورِ نو فقط می‌توانند «ذخیره» شوند، نه «بازسازی»! این چیزهای نو، همان‌گونه که پیش‌تر نشان دادیم، همان اعدادِ اول یا اتم‌های واقعیت ما هستند. فضای لگاریتمی—چه در بیناذهنیتِ ما از ذهن و زبان، و چه در شناختِ گسترش‌یافته از شیارهای حک‌شده بر استخوان تا رایانه‌ها و مدل‌های هوش مصنوعی—همواره دارای نوعی «ظرفیت اطلاعاتی» است.«ظرفیت اطلاعاتی»‌ای که در میلیاردها پارامترِ مدل‌های زبانیِ بزرگ متجلی شده، بازتابِ مقیاسِ یک فضای بازنماییِ مشترک است. برای فهم این موضوع، باید هم دانشِ گزاره‌ای («دانستنِ اینکه») و هم دانشِ رویه‌ای («دانستنِ چگونه») را به‌عنوان اجزای یک فضای اطلاعاتیِ واحد در نظر بگیریم. دانسته‌های ما دربارهٔ جهان—مانند «پاریس پایتخت فرانسه است»—و نیز مهارت‌هایی چون ترجمهٔ زبان‌ها، آشپزی بر اساس دستور غذا، یا نوشتن کد، همگی درون یک حافظهٔ تداعی‌گرِ مشترک رمزگذاری شده‌اند.این قلمروِ بازنماییِ مشترک را می‌توان به‌منزلهٔ یک فضای لگاریتمی دید که تمام طیف دانش، از صریح تا ضمنی، را در بر می‌گیرد. در یادگیری ماشین، این فضا معمولاً «فضای پارامترها» نامیده می‌شود؛ جایی که این شکل‌های متنوعِ دانش در کنار یکدیگر همزیستی می‌کنند و با هم برهم‌کنش دارند.rohola zandierohola zandieSat, 27 Dec 2025 04:43:46 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/لگاریتم-ادراک-و-اطلاعات-قسمت-۳-zbozej6bjumoدسته بندی فضای اطلاعاتی از اساس به صورت درختی یا چند فراکتالی است!فضای اطلاعات: فضایی لگاریتمیاگر فرض کنیم که اطلاعات در یک فضای احتمالاتی (مثلاً مجموعه‌ای از داده‌ها با احتمال‌هایی برای هر بخش) رمزگذاری شده باشد، برای سازمان‌دهی مؤثر این فضا، باید آن را به‌صورت مرحله‌ای و سلسله‌مراتبی تقسیم کنیم. این تقسیم‌بندی مرحله‌به‌مرحله، چیزی است که در ریاضیات به آن فیلترسازی (filtration) می‌گویند.در هر مرحله از این تقسیم، کل فضا به بخش‌هایی جدا از هم تقسیم می‌شود. برای مثال: «چاقو» در زیرمجموعه «ابزارهای آشپزخانه» قرار می‌گیرد، که خود زیرمجموعه «وسایل خانه» است. در هر مرحله، زیرمجموعه‌های ریزتر داخل یک مجموعه بزرگ‌تر قرار دارند. این ساختار به‌صورت یک درخت سلسله‌مراتبی (hierarchical tree) دیده می‌شود.اگر در هر مرحله تقسیم‌بندی ثابتی وجود داشته باشد، مثل این‌که هر دسته به ۲ یا ۳ دسته کوچکتر تقسیم شود، تعداد کل بخش‌ها با افزایش مرحله‌ها به‌شکل نمایی رشد می‌کند. برای شناسایی دقیق یک مورد خاص (مثلاً یک برگ در انتهای درخت)، کافی است تعداد ثابتی سوال چندگزینه‌ای (یا بله/خیر) بپرسیم. این دقیقاً شبیه کارکرد مغز برای فشرده‌سازی اطلاعات است.چه چیزی رمزگذاری می‌شود؟ نسبت بین دسته‌بندی‌هادر این ساختار درختی، مهم‌ترین چیزی که ذخیره می‌شود نسبت بین هر دسته و زیرمجموعه‌های آن است. مثلاً اگر یک دسته به ۴ بخش تقسیم شود، ممکن است هرکدام سهم خاصی از «احتمال» را به خود اختصاص دهند. این نسبت‌ها اطلاعات اصلی هستند که مغز یا سیستم رمزگذاری نگه می‌دارد.هر داده‌ای که در فضای اطلاعاتی قرار دارد، می‌تواند با دنباله‌ای از این نسبت‌ها شناخته شود. در واقع، برای رسیدن به یک نقطه خاص در این فضا، می‌توان مسیر را از ریشه درخت تا آن نقطه با دنباله‌ای از نسبت‌ها (که در بازه ۰ تا ۱ هستند) مشخص کرد. برای درک این موضوع به بازی بیست سوالی دقت کنید: در هر قدم شما به دنبال یافتن سوالی هستید که با نسبت بهتری فضای حالت های ممکن را تقسیم بندی کند. در اینجا «نسبت» بهینه سوالی است که با جواب دادن به آن به زیربخش کوچکتری از فضا میرسیم به طور مثال اگر طرف مقابل چیزی در ذهن داشته باشد سوال «آیا یک موجود زنده است یا خیر؟» سوال بسیار بهتری است تا «آیا قاشق است؟» چرا که سوال اول تعداد حالت های بیشتری را حذف می کند!حالا اگر به‌جای ضرب کردن این نسبت‌ها، لگاریتم آن‌ها را بگیریم، عملیات ضرب به جمع تبدیل می‌شود. این کار باعث می‌شود تا بتوانیم اطلاعات را به‌صورت ساده‌تر و افزایشی ذخیره کنیم. به همین دلیل، لگاریتم نقشی کلیدی در نحوه پردازش اطلاعات توسط مغز ایفا می‌کند.اگر این نسبت‌ها در هر مرحله یکسان باشند، ساختاری شبیه فرکتال (fractal) داریم؛ اما در حالت کلی، هر مرحله می‌تواند نسبت متفاوتی داشته باشد. در این صورت، فضای اطلاعاتی به یک ساختار چندفرکتالی (multifractal) تبدیل می‌شود که در آن هر مسیر، ویژگی خاص خود را دارد. برای هر مسیر می‌توان عددی به نام «توان هولدر محلی» (local Hölder exponent) تعریف کرد که نشان می‌دهد چقدر اطلاعات در آن مسیر فشرده یا گسترده شده‌است.مجموعه‌ای از نقاط که نمای هولدر یکسان دارند، یک «طیف» می‌سازند که به آن طیف چندفرکتالی (multifractal spectrum) گفته می‌شود. این طیف به ما کمک می‌کند تا بفهمیم چگونه اطلاعات در مقیاس‌های مختلف توزیع شده‌اند.نتیجه‌گیریما با یک مشاهدهٔ ساده ولی عمیق شروع کردیم: اینکه ادراک ما از جهان خطی نیست، بلکه لگاریتمی است. این واقعیت ساده پیامدهای بزرگی دارد. از آنجا به این نتیجه رسیدیم که این ساختار لگاریتمی فقط ویژگی حواس ما نیست، بلکه یک اصل بنیادی در سازمان‌دهی مغز و هر سیستم شناختی است.در قلب این ساختار، توانایی شگفت‌انگیز مغز برای درک جهان از طریق نسبت‌ها قرار دارد؛ چیزی که در نظریهٔ اطلاعات به آن طول کد (code length) می‌گویند. طول کد لگاریتم تعداد حالت‌های ممکن است. این یعنی مغز به‌طور طبیعی اطلاعات را فشرده می‌کند. شناخت یعنی فشرده‌سازی: یعنی تبدیل سیل ورودی‌های حسی به روابط معنادار.چه در مقایسهٔ صداها، وزن‌ها، روشنایی‌ها یا حتی مفاهیم انتزاعی، بدن ما همیشه به‌دنبال ساختار از طریق تناسب است. مغز تجربیات وسیع را در قالب‌های فشرده و نسبی رمزگذاری می‌کند. این فقط یک راهبرد نیست؛ این مهراز (معماری) اندیشه است.در پس هر احساس، هر تصمیم، و هر درک، منطقی عمیق وجود دارد: ذهنی لگاریتمی که جهان را نه آن‌گونه که هست، بلکه آن‌گونه که نسبت دارد می‌بیندو در نهایت، درک کردن یعنی سنجیدن جهان بر اساس نسبت‌های آن.rohola zandierohola zandieMon, 14 Jul 2025 05:09:51 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/لگاریتم-ادراک-و-اطلاعات-قسمت-۲-ld4l70fcuxnhانبوهی از پژوهش‌های روان‌شناسی و علوم اعصاب حقیقتی ژرف را آشکار می‌سازند: ذهن و بدن ما جهان را نه بر اساس مقادیر مطلق، بلکه از طریق نسبت‌ها (ratios) تفسیر می‌کنند. این ادراک مبتنی بر نسبت (ratio-based perception) چنان عمیق در شناخت ما ریشه دارد که نه‌تنها بر دیدن و شنیدن و چشیدن، بلکه حتی چارچوب شیوه ی اندیشیدن ما نیز شکل می دهد.ریشهٔ لاتین واژه ی logos که به معنای عقل، کلمه، یا نسبت (ratio) است، در قلب این ایده قرار دارد. این واژه بنیان‌گذار کلماتی چون rationality (خردورزی یا توانایی درک نسبت‌ها و روابط) و logarithm (که معنای تحت‌اللفظی آن «عددِ نسبت» است) محسوب می‌شود.این جهت‌گیری بنیادین به‌سوی نسبت‌ها، شالوده ی بافت‌مندی (contextuality) را شکل می‌دهد؛ ویژگی‌ای تعیین‌کننده در شناخت انسان. ما به‌ندرت چیزها را در انزوا قضاوت می‌کنیم؛ بلکه معمولا آن‌ها را با عناصر پیرامونشان مقایسه می‌کنیم. یک مطالعه ی نشان داد که مشتریان یک میکده وقتی موسیقی آلمانی در پس‌زمینه پخش می‌شد، با احتمال بسیار بیشتری آبجو آلمانی سفارش می‌دادند. انتخاب آن‌ها تنها بر اساس ترجیح شخصی نبود، بلکه تحت‌تأثیر یک نشانه بافتی قرار گرفت؛ یک نسبت بین محیط و انتخاب.همین اصل توضیح می‌دهد که چرا یک ساندویچ ۱۰ دلاری در یک غذافروشی سر کوچه گران به‌نظر می‌رسد اما در یک سالن فرودگاهی لوکس ارزان جلوه می‌کند. یا چرا یک لیوان شراب در صورتی‌که به شما بگویند قیمت آن ۱۰۰ دلار است، خوش‌طعم‌تر از همان لیوان به‌نظر می‌رسد وقتی بگویند فقط ۱۰ دلار می‌ارزد. در همهٔ این موارد، ارزش در انزوا درک نمی‌شود، بلکه از جایگاه نسبی آن در یک بافت حسی یا اجتماعی نتیجه‌گیری می‌شود.در سطح عصبی، این گرایش در حافظهٔ تداعی‌گر (associative memory) تجلی می‌یابد. مغز، حقایق را به‌صورت جداگانه ذخیره نمی‌کند؛ بلکه روابط و الگوهای همراهی را به‌خاطر می‌سپارد. این «نسبت‌های» درونی‌شده میان محرک‌ها، اعمال و پیامدها، به ما کمک می‌کنند تا به‌طور مؤثر در جهان حرکت کنیم، شکاف‌ها را پر کنیم و به‌گونه‌ای انعطاف‌پذیر به موقعیت‌های جدید پاسخ دهیم. ما جهان را صرفا آن‌گونه که هست نمی‌بینیم، بلکه آن را در نسبت با سایر چیزها درک می‌کنیم.مطالعات اخیر مغز بینش‌های ارزشمندی در این‌باره ارائه می‌دهند که چرا هم مغز و هم بدن غالبا بر اساس اصول لگاریتمی عمل می‌کنند. یکی از نخستین مشاهدات در علوم اعصاب این است که فعالیت‌های عصبی از توزیع نرمال (normal distribution یا Gaussian) پیروی نمی‌کنند. بلکه از توزیع لگاریتمی-نرمال (log-normal distribution) پیروی می‌کنند: یعنی اکثریت نورون‌ها با فرکانس‌های پایین شلیک می‌کنند، در حالی‌که اقلیتی کوچک با نرخ‌های بسیار بالاتر فعال هستند.این گروه کوچک از نورون‌های با فرکانس بالا که به آن‌ها «انفجارگرهای سریع» (fast burster) گفته می‌شود، موقعیتی ویژه دارند. آن‌ها نه تنها همواره فعال‌تر هستند بلکه ارتباطات بیشتری با سایر نورون‌ها برقرار می‌کنند. این نورون‌ها به‌عنوان گره‌های مرکزی (hubs) عمل کرده و فعالیت مغز را در قالب یک ساختار شبکه‌ای سلسله‌مراتبی (hierarchical network structure) سازمان می‌دهند که ارتباطات موثر و یکپارچه بین نواحی مختلف مغز را تسهیل می‌کند.گیورگی بوشاکی (György Buzsáki) عصب شناس مجارستانی و همکارانش نشان داده‌اند که وزن‌های سیناپسی (synaptic weights)، اندازهٔ دکمه‌های آکسونی (axonal bouton sizes)، و نرخ شلیک قشر مغز همگی از توزیع‌های سنگین‌دُم (heavy tail) لگاریتمی-نرمال (log-normal) پیروی می‌کنند. این موضوع بیانگر فرآیندهای رشد ضرب‌پایه‌ای در مقیاس‌های مختلف است. این معماری «پویای لگاریتمی» (log-dynamic) بدین معناست که تعداد کمی گرهٔ بسیار قوی کنترل اصلی شبکه را در دست دارند، در حالی‌که بسیاری از ارتباطات ضعیف، انعطاف‌پذیری را فراهم می‌کنند.چنین آمارهایی به‌طور طبیعی منجر به منحنی‌های تقویت (gain curves) مطابق با قانون وبر–فنچر (Weber–Fechner) می‌شوند: افزایشی متناسب در ورودی پیش‌سیناپسی، پس از تبدیل به واحدهای لگاریتمی، منجر به تغییری افزایشی در پتانسیل پس‌سیناپسی می‌شود. مدل‌های محاسباتی نیز تأیید می‌کنند که وزن‌های متمایل و لگاریتمی-نرمال، انتقال اطلاعات را در شرایط محدودیت متابولیکی بهینه می‌کنند. در بخش بعدی، ریاضی‌وار نشان خواهیم داد که چرا این انتخاب، «بهینه» است.محرک‌هایی که ما را احاطه کرده‌اند، در بسیاری موارد از قانون توانی (power law) پیروی می‌کنند، و سامانهٔ شناختی ما برای فشرده‌سازی دامنهٔ دینامیکی (dynamic-range compression) تطبیق یافته‌است تا انتقال اطلاعات را به شکل بهینه انجام دهد.rohola zandierohola zandieSun, 13 Jul 2025 02:15:30 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/لگاریتم-ادراک-و-اطلاعات-قسمت-۱-ejlqhgej5awqشما نمی‌دانید چقدر شعر در محاسبهٔ یک جدول لگاریتم وجود دارد. کارل فریدریش گاوسیک نمونه از شنوایی نگارتا جایی که به خاطر دارم، پدرم همیشه مشکلات شنوایی داشت. به همین دلیل، هر از گاهی مجبور بود آزمایشی به نام «شنوایی‌نگار» (audiogram) انجام دهد. شنویایی‌نگار نموداری شبیه شکل بالاست است.روی محور افقی، فرکانس‌هایی از ۲۰ تا ۱۰٬۰۰۰ را می‌بینید (اگرچه انسان می‌تواند صداهایی تا ۲۰٬۰۰۰ هرتز را هم بشنود). اما محور عمودی سطح شنوایی را در واحدی به نام دسی‌بل (decibel) نشان می‌دهد. دسی‌بل به‌طور تحت‌اللفظی به‌معنای «ده بل (bel)» است، ولی خودِ «بل» یک واحد لگاریتمی است. این بدان معناست که ۴۰ دسی‌بل در واقع ده برابر قوی‌تر از ۳۰ دسی‌بل است! اما چرا باید این‌طور باشد؟ چرا از واحدی لگاریتمی برای اندازه‌گیری شنوایی استفاده می‌کنیم؟ جستجو برای پاسخ به این سؤال ما را به درکی عمیق از لگاریتم، مغز، ادراک و اطلاعات می‌رساند.گوستاو تئودور فشنر (Gustav Theodor Fechner)، فیزیک‌دان، فیلسوف و روان‌شناس آلمانی، بنیان‌گذار آن چیزی است که امروزه به نام روان‌فیزیک (psychophysics) شناخته می‌شود. فشنر رابطهٔ میان تحریکات فیزیکی (physical stimuli) و احساسات یا ادراکات (sensations / perceptions) حاصل از آن‌ها را مورد مطالعه قرار داد. مطالعات او افق جدیدی برای درک ذهن انسان و ارتباط آن با جهان فیزیکی گشود.فشنر شاگرد فیزیک‌دان و روان‌شناس دیگر آلمانی به نام ارنست هاینریش وبر (Ernst Heinrich Weber) بود. وبر مشاهده کرد که «حداقل افزایش در یک محرک که منجر به افزایش قابل‌درک در حس می‌شود، متناسب با اندازهٔ اولیهٔ آن محرک است». برای درک بهتر، به شکل زیر توجه کنید: در هر ستون مربع پایینی ۱۰ نقطه بیشتر از مربع بالایی دارد. اگرچه اختلاف تعداد نقاط در هر دو ستون یکسان است، اما ادراک ما از تفاوت در سمت چپ به وضوح آشکارتر از سمت راست است.در هر ستون تعدد نقاط از پنل بالا به پایین فقط ۱۰ تا اضافه می شود با اینحال افزایش تعداد از ۱۰ به ۲۰ بسیار محسوس تر است تا از ۱۱۰ به ۱۲۰در سال ۱۸۶۰، فشنر کتاب مهمی به نام عناصر روان‌فیزیک (Elemente der Psychophysik) منتشر کرد که در آن به بررسی ایده‌های بنیادین درباره ی احساسات انسانی پرداخت. او پیشنهاد داد که تغییرات حسی را بهتر می‌توان به‌عنوان «تضاد در مقیاس» درک کرد؛ یعنی تشخیص تغییرات بر اساس تفاوت‌های نسبی صورت می‌گیرد، نه مطلق.فشنر مشاهده کرد که برای آن‌که تغییری در یک محرک (مثلاً روشنایی یا وزن) قابل درک باشد، آن تغییر باید نسبت ثابتی از محرک اولیه را تشکیل دهد. به عبارت دیگر:مغز یک آشکارساز تغییرات نسبی (ratio-based change detector) است.برای نمونه، اگر وزنه‌ای ۱ کیلوگرمی را به ۲ کیلوگرم افزایش دهیم، فوراً متوجه تغییر می‌شویم. اما اگر از ۱۰ کیلوگرم به ۱۱ کیلوگرم برویم، همان یک کیلو افزایش به‌سختی احساس می‌شود. برای اینکه تغییری مشابه در سناریوی دوم احساس شود، باید وزن دو برابر شود (از ۱۰ به ۲۰ کیلوگرم تغییر کند). این حداقل تغییر قابل درک، به عنوان تفاوت حداقل قابل احساس (just-noticeable difference یا JND) شناخته می‌شود.فشنر نتیجه‌گیری می‌کند:تغییر ادراکی نسبت معکوس با اندازه ی اولیه ی محرک دارد.این قانون به‌عنوان قانون فشنر (Fechner’s Law) شناخته می‌شود.از دیدگاه ریاضی، اگر تغییر کوچکی در ادراک را با dp و محرک را با S نشان دهیم، رابطه به صورت زیر است:که در آن آلفا یک ثابت تناسب است. اگر از مقدار اولیه S_0 شروع و به S برسیم کل تغییر خواهد بود:یا:این رابطه نشان می‌دهد که نسبت میان تحریکات و ادراکات، یک رابطهٔ لگاریتمی (logarithmic) است. یعنی اگر مقدار محرک چند برابر شود، میزان ادراک فقط به‌صورت جمعی (خطی) افزایش می‌یابد. این اصل محدود به وزن یا شنوایی نیست، بلکه به همهٔ حواس انسانی تعمیم می‌یابد.برای مثال، سامانه ی بینایی ما می‌تواند روشنایی را در بازه‌ای از صفر تا بیش از ۱۰ به توان ۱۶ برابر تشخیص دهد، اما ادراک ما از روشنایی در این بازه تقریباً خطی افزایش می‌یابد. در عمل این بدان معناست که بینایی ما از تشخیص حتی یک فوتون (!) تا بیرون رفتن در یک روز آفتابی (۱۰ به توان ۱۶ فوتون) را می تواند مدیریت کند! به همین شکل، حس چشایی نیز بر اساس مقیاس لگاریتمی کار می‌کند. زبان به تفاوت‌های کوچک در محرک‌های ضعیف بسیار حساس است، اما با افزایش شدت، تمایزپذیری کاهش می‌یابد. برای نمونه، سوکرالوز (sucralose) که یک شیرین‌کنندهٔ مصنوعی موجود در بسیاری از نوشابه‌های رژیمی است، تا ۶۰۰ برابر شیرین‌تر از شکر است، اما ادراک ما از افزایش شیرینی آن نسبتاً اندک است، چرا که ادراک به‌صورت لگاریتمی نسبت به شدت محرک افزایش می‌یابد. این پدیده دربارهٔ شیرین‌کننده‌های قوی‌تری مانند آدوانتام (Advantame، تا ۲۰٬۰۰۰ برابر شیرین‌تر)، ساخارین (saccharin) و آسپارتام (aspartame) نیز صدق می‌کند.مقیاس‌بندی لگاریتمی فقط به پنج حس سنتی محدود نمی‌شود. بلکه شامل ادراک فاصله، زمان و حتی تصمیم‌گیری نیز می‌شود. طبق قانون هیک (Hick’s Law)، زمانی که افراد برای انتخاب از بین N گزینه صرف می کنند، تنها به‌صورت لگاریتمی افزایش می‌یابد:زمان واکنش ∝ لگاریتم (تعداد گزینه‌ها)این بدان معناست که اگر ده گزینه در برابر شما قرار بگیرد و شما در یک ثانیه تصمیم بگیرید در برابر ۱۰۰ گزینه این مقدار نه ۱۰ برابر بلکه فقط دوبرابر میشود (رشد خطی)حال این سوال اساسی را مطرح می شود:چرا ادراک ما رابطه‌ای لگاریتمی با تحریکات دریافتی از جهان دارد؟rohola zandierohola zandieSun, 13 Jul 2025 01:53:57 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/آنتروپی-هندسه-lkjekkpbhfjlافسانه‌ای خاموش، سال‌هاست در کلاس‌ها و کتاب‌ها زمزمه می‌شود—چنان آرام و چنان فراگیر که کمتر کسی در صحتش تردید می‌کند. این افسانه می‌گوید: آنتروپی یعنی بی‌نظمی. یعنی گسترش آشوب. یعنی فروریختن نظم کیهانی.اما اگر این باور، با همه‌ی شهرتش، ناقص باشد چه؟اگر آنتروپی، نه پایان نظم، بلکه الگوی پنهانیِ شکل‌گیریِ نظم باشد چه؟من نیز، همچون بسیاری دیگر، سال‌ها در این برداشت نادرست سرگردان بودم—تا زمانی که نشانه‌هایی از واقعیتی ژرف‌تر نمایان شد. بر خلاف آن‌چه گفته‌اند، آنتروپی در مورد بی‌نظمی نیست؛ آنتروپی در مورد هندسه است—هندسه‌ای ناپیدا، از جنس اطلاعات.اما هندسه چیست؟ بیش از خط و زاویه و دایره است. هندسه، معماریِ واقعیت است. قانونی‌ست که بر فضا حکم می‌راند: بر فاصله‌ها، جهات، موقعیت‌ها. بدون هندسه، جهان به بی‌فرمی فرو می‌غلتد—نه آزادی، بلکه خلأی بی‌معنا.و با این حال، هر جا که چشم می‌دوزیم، نظم هندسی را می‌بینیم. سیاره‌ها سرگردان نمی‌چرخند؛ با دقتی بی‌نقص در مدارهایی بیضی‌وار حرکت می‌کنند. کوه‌ها با تقارن‌های طبیعی قد علم می‌کنند. و حیات—از DNA خاموش گرفته تا شاخه‌های مغز بیدار—همه در نظمی شگفت جریان دارند.در پس این جلوه‌ها، عناصر بنیادین—کربن، هیدروژن، اکسیژن و دیگران—در روابطی پیچیده اما دقیق با یکدیگر می‌رقصند؛ هندسه‌ای ناپیدا که جهان ما را می‌سازد. ما قواعد جهان را، از دل همین هندسه، بیرون می‌کشیم.و این‌جاست که آنتروپی وارد می‌شود. نه برای نابود کردن نظم، بلکه برای اندازه‌گیری آن.بیایید به یک مولکول آشنا نگاه کنیم: ایبوپروفن. وقتی این دارو سنتز می‌شود، دو تصویر آینه‌ای از آن پدید می‌آید. از نظر شیمیایی یکسان‌اند، اما تنها یکی در بدن انسان اثر دارد. چرا؟ چون گیرنده‌های بدن ما «دست‌سان» هستند—جهت‌مندند، و فقط یکی از آن دو تصویر در چارچوب هندسه‌ی زیستی جا می‌افتد. طبیعت، بی‌سروصدا، هندسه را ترجیح می‌دهد.تنها مولکول سمت راست (و نه تصویر آینه ای) باعث کم شدن سردرد میشود!و این، تنها قطره‌ای‌ست از اقیانوس. تمام زیست‌شناسی ما وابسته به پیکربندی‌های دقیق ماده است. و این دقیقاً همان چیزی‌ست که آنتروپی آن را ثبت می‌کند.در زبان دقیق‌تر، «هندسه»ی یک سامانه، یعنی ساختار فضای حالت آن—مجموعه‌ی تمام حالت‌هایی که می‌تواند در آن‌ها قرار گیرد. حتی در ساده‌ترین سامانه‌ها نیز این هندسه پیداست. مسئله‌ی سه‌جسمی را تصور کنید: حرکت سه جرم در فضای گرانشی، با نظمی عجیب و ظاهراً بی‌قاعده. اما اگر دقیق‌تر بنگری، می‌بینی که راه‌حل‌های پایدار، از هندسه‌ی قوانین نهفته در سامانه نشئت می‌گیرند.آنتروپی فقط یک عدد ثابت نیست که همیشه بالا برود. بلکه نقشه‌ای‌ست از همه‌ی حالت‌های ممکن. می‌گوید در یک ناحیه از فضای حالت، چند ریزحالت وجود دارد. به‌عبارتی، حجمِ امکانات را می‌شمارد.برای فهم آنتروپی، باید پرسید: در این سامانه، محتمل‌ترین توزیع چیست؟ پاسخ این است: توزیعی که بیشترین آنتروپی را دارد. آنتروپی، تابعی‌ست که یک توزیع را می‌گیرد و عددی بازمی‌گرداند که پیچیدگی آن را توصیف می‌کند. و این توزیع، حاصلِ قوانین و قیود سامانه استتصور کن یک ستون بلند پر از گاز داریم—مثلاً یک محفظه‌ی شیشه‌ای عمودی که پایین آن روی سطح زمین است. در غیاب هر قانون یا نیرویی، انتظار داریم که مولکول‌های گاز به‌طور یکنواخت در تمام ارتفاع محفظه پخش شوند؛ هرجایی ممکن است یک مولکول باشد. توزیع، یکنواخت و بی‌تفاوت است.اما حالا نیروی گرانش وارد می‌شود.گرانش یک قاعده‌ی جدید به سیستم اضافه می‌کند: مولکول‌هایی که به بالا می‌روند باید انرژی بیشتری داشته باشند. در نتیجه، بیشتر مولکول‌ها در پایین تجمع می‌کنند، جایی که انرژی پتانسیل کمتر است. و در ارتفاعات بالا، چگالی گاز به‌طرز چشم‌گیری کاهش می‌یابد.به‌عبارت دیگر، توزیع احتمال حضور یک مولکول در فضا، دیگر یکنواخت نیست—بلکه وابسته به ارتفاع و انرژی است. این همان توزیع بولتزمن است. این توزیع نشان می‌دهد که هرچه بالا می‌رویم، احتمال یافتن مولکول کمتر می‌شود. و این هندسه‌ای در فضای حالت ایجاد می‌کند که از دل قوانین فیزیکی (گرانش و ترمودینامیک) پدیدار شده است.در نهایت، پرسش واقعی این نیست که آنتروپی چیست؛ بلکه این است که شکلِ امکان‌ها در این جهان، چه شکلی‌ست؟و اگر آن شکل را بیابیم… هندسه‌ی هستی را یافته‌ایم.rohola zandierohola zandieTue, 08 Jul 2025 03:34:53 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/عصر-ماشین-های-با-ابعاد-فراکتالی-cirzmtcgoxjgآن که پرنقش زد این دایره مینایی کس ندانست که در گردش پرگار چه کرد (حافظ)لوئیس فرای ریچاردسون (Lewis Fry Richardson) در نیمه ی قرن بیستم به مطالعه ی طول خط ساحلی کشور ها مشغول شد. او در حال بررسی این بود که آیا می‌توان احتمال درگیری بین کشورها را بر اساس طول مرز مشترکشان پیش‌بینی کرد یا نه. اما در این مسیر متوجه پدیده‌ای عجیب شد: منابع مختلف، طول بسیار متفاوتی برای یک مرز یا خط ساحلی یکسان گزارش می‌کردند. به‌ویژه برای کشورهایی مانند بریتانیا.مثلاً یک منبع می‌گفت طول خط ساحلی بریتانیا حدود ۲۴۰۰ کیلومتر است، دیگری ۳۴۰۰ کیلومتر و حتی منابعی بودند که ۱۲۰۰۰ کیلومتر گزارش می‌دادند! چرا این‌همه تفاوت؟واقعیت این است که طول خط ساحلی به مقیاس اندازه‌گیری بستگی دارد!‌ اگر با خط‌کشی به طول ۱۰۰ کیلومتر اندازه بگیرید، از بسیاری از خلیج‌ها، بریدگی‌ها و پیچ‌وخم‌های کوچک عبور می‌کنید. اما اگر خط‌کش شما فقط ۱ کیلومتر باشد، جزئیات بیشتری را ثبت می‌کنید. و اگر به اندازه ۱ متر یا حتی کوچک‌تر برسید، حتی فرورفتگی‌های کوچک، سنگ‌ریزه‌ها و دانه‌های شن را هم لحاظ خواهید کرد. هرچه واحد اندازه‌گیری کوچکتر باشد، طول خط ساحلی بیشتر می‌شود.این مشاهدۀ عجیب همان پارادوکس خط ساحلی است:طول اندازه‌گیری‌شده‌ی یک خط ساحلی، هرچه مقیاس اندازه‌گیری کوچکتر شود، بدون حد افزایش می‌یابد.این وضعیت معنای «طول» به صورت کلاسیک آن را بی استفاده می کند!‌ پس باید چه کرد؟این پارادوکس توجه بنوآ مندلبرو (Benoit Mandelbrot) ، ریاضی‌دان فرانسوی را جلب کرد. او در سال ۱۹۶۷ مقاله‌ای معروف با عنوان «خط ساحلی بریتانیا چقدر طول دارد؟ خودشباهتی آماری و بُعد کسری» منتشر کرد. اون دریافت که اشکال طبیعی مانند خط ساحلی، طول دقیقی در معنای کلاسیک ندارند. این اشکال دارای خودشباهتی هستند؛ یعنی الگوهای مشابهی در مقیاس‌های مختلف ظاهر می‌شوند. مندلبرو مفهوم بُعد فرکتالی را برای اندازه‌گیری این پیچیدگی معرفی کرد.برای یک خط صاف (یک بعدی)، بُعد آن برابر با ۱ است.برای یک صفحه (دو بعدی)، بُعد آن ۲ است.اما بعد خط ساحلی بریتانیا بین خط و صفحه است!! مقدار اندازه گیری شده ۱.۳۳ است. اما یافتن بعد فقط محدود به چنین موجودیت های جغرافیایی نمی شود. هر چیزی اطراف ما یک بعد دارد حتی زبان! اکنون، بیایید فراتر رویم. «بعد»، میتواند از دیدگاهی عمومی تر هم دیده شود. بگذارید آن را در دل پویایی ببینیم: در ماشین‌هایی که نه تنها می‌اندیشند، بلکه انتخاب می‌کنند.فرض کنید جهانی را داریم که در آن هر لحظه، آینده ی دقیقاً مشخص دارد؛ آینده‌ای که با بی‌رحمی ریاضی تعیین شده است. در چنین جهانی، شما آزادی ندارید. تنها یک مسیر است که باید آن را پیمود. این همان دنیای ماشین‌های متعین (deterministic automata) است، اتومات‌هایی که بدون تردید و بدون رؤیا، از یک وضعیت به وضعیت بعدی می‌خزند. شما قفل شده‌اید. در اسارت علیت. شکل زیر یک مثال از چنین حالتی است:اما در جهانی دیگر، در ساختاری دیگر از ماشین‌ها، «آزادی» (انتخاب آزاد) از تارهای علیت سر برمی‌کشد. در اینجا، در هر نقطه می‌توانید بایستید یا حرکت کنید، انتخاب کنید یا نکنید. این همان آزادی است: جایی که امکان معنا می‌یابد. ساده ترین مثال آن شکل زیر است: در اینجا زبان ما فقط دو نماد ۰ و ۱ دارد و دو حالت برای حرکت بین آن ها:و آنگاه، نوعی میانجی، میان این دو جهان می‌زاید: اتوماتای جابجایی با نسبت طلایی.(golden mean shift automata) نه کاملاً آزاد، نه کاملاً مقید. گاه انتخاب دارید، گاه ندارید. چیزی شبیه به ساحت وجود ما، در مرز میان تقدیر و اراده. در شکل زیر ساده ترین نمونه ی اتوماتای طلایی را می بنید (که قبلا هم آن را بررسی کردیم)اگر مسیرهای ممکن را بُعد بنامیم، پس ماشین‌های متعین بُعدشان یک است: یک مسیر، یک انتخاب. اتومات دومی که بررسی کردیم بُعدش دو است: در آن هر حالت دو مسیر پیش روی شماست: در هر حالت هم می توانید در آنجا بمانید یا به حالت دیگر بروید. اما در اتوماتای نسبت طلایی، در یک حالت شما دو انتخاب دارید اما در حالت دیگر حرکت کاملا متعین است: «بُعد» (یا درجه ی انتخاب) در میان یک و دو است یک مقدار کسری یا به زبان دیگر فراکتالی. برای محاسبه «بعد» باید پرسید: در هر تغییر بر روی اتومات ها فضای حالت ها به چه نرخی رشد می کند! نرخ این رشد از قضا برابر با اولین مقدار ویژه (eigenvalue) ماتریس جابجایی اتومات (transition matrix) است.و این نرخ همان عدد طلایی‌ست. ۱.۶۱۸۰. بنابراین بعد چنین ماشینی عدد طلایی است!در حقیقت، آنچه ما «بُعد» می‌نامیم، چیزی نیست جز آنتروپی؛ میزان آزادی، میزان پیچیدگی یا نسبت تقدیر و اراده: نسبت آزادی و اسارت. و همان‌گونه که پیش‌تر گفتیم، آنتروپی صرفاً بی‌نظمی نیست. آنتروپی، هندسه‌ی آزادی‌ست. نقشه‌ی مرموزی‌ست که نشان می‌دهد در کجا می‌توان بود و در کجا نه.زبان ماشین‌ها نیز، زبان همین هندسه است. ما در نظریه‌ی زبان‌ها و اتوماتا، زبان‌هایی را تعریف می کنیم که اساس تمامی زبان های برنامه نویسی و ماشینی است. شما به یاد دارید که می توان ماشین هایی ساخت که زبان های ساده ای مانند (01)* یا تکرار 01 را ایجاد کنند ( regular expressions). در این نوع زبان ها احتمال رفتن از یک نماد به دیگری شکل های پیچیده تری را هم می سازند (زبان های حافظه دار و در نهایت ماشین تورینگ). در دسته ی زبان هایی که حرکت بین نماد های آن (در مثال بالا 0 , 1) احتمالاتی است ما با توالی های مختلفی مواجه هستیم که برخی از بقیه محتمل ترند. اگر حتی کلی تر به این موضوع نگاه کنید می توانید زبان های انسانی را هم توالی احتمالاتی از کلمات بدانید!امروزه، مدل‌هایی در دل سیلیکون به نام ترنسفورمر (Transformers) ساخته‌ایم که وقتی به آن‌ها کلمه‌ای داده می‌شود، می‌توانند توزیع احتمال کلمه‌ی بعدی را با دقتی شگرف پیش‌بینی کنند.در مدل های زبانی امروزی وقتی یک کلمه به عنوان ورودی داده می شود مدل با دقت بسیار بالایی توزیع احتمال کلمه ی بعدی را پیش بینی می کند. به این ترتیب می توانیم یک نمونه از توزیع کلمه ی بعدی برداریم و همینطور کلمات بعدی و بعدی را بسازیم تا جملات و پاراگراف های طولانی ایجاد کنیم. اینجا هم یک فضا وجود دارد از کلماتی که پشت سر هم می آیند و برخی از دنباله ها قابل قبول هستند (مثلا «او به بازار رفت» ) و برخی غیر قابل قبول (مثلا «بازار او رفت» ) یا حتی بهتر: چه دنباله هایی با احتمال بیشتری یا کمتری می آیند (احتمال بیشتر مانند «در کتاب نوشتم» و احتمال کمتر «کتاب پرواز کرد»). آنتروپی یا «بعد» چنین ماشینی تمام آن چیزی است که شکل آن را تعیین می کند. شاید الان بهتر متوجه شده باشید که چرا در مدل های زبانی آنتروپی را مینیمم می کنیم. چیزی که یک شبکه ی عصبی مانند مدل های ترنسفورمر یاد میگیرند تابع آنتروپی هر کلمه به شرط کلمات قبلی است. این آنتروپی فضای بسیار پیچیده و تو در توی زبان را با دقتی بالا تخمین می زند. کاری که حتی تا چند سال پیش غیر ممکن بنظر می رسید. اما آیا راهی وجود دارد که این را حتی شهودی تر درک کرد؟ برای این منظور فرض کنید شما در یک اتاق هستید که اجسامی در آن وجود دارند. در این حالت هر درجه ی آزادی محدودیت هایی برایش ایجاد می شود. مثلا ممکن است شما براحتی نتوانید به چپ حرکت کنید چون تخت در سمت چپ شماست. اما اگر روی تخت بروید (یعنی در جهت بالا-پایین کمی بالا رفتید اید) می توانید کمی به چپ تر بروید. در اینجا ما با ابعاد فراکتالی روبرو هستیم. اینجا دیگر «بعد» فضا ۳ نیست بلکه بستگی به جایی دارد که قرار گرفته اید، بعضی جاها سه و بعضی جاها کمتر! «بعد» به روشی برعکس مشخص می کند که چه اجسام و اشیایی در فضای اتاق وجود دارند! اگر شما چشم هایتان را ببندید و فقط به صورت تصادفی در اتاق حرکت کنید (فرض کنید حتی می توان بالا پایین هم رفت) در عمل می توانید تمام اتاق را «اسکن» کنید. حتی می توانید این را با دقت بیشتری هم انجام دهید. اگر یک پهپاد به اندازه ی یه زنبور را داخل بفرستید می توانید حتی لیوان توی اتاق رو هم تشخیص بدهید.مدل های زبانی به همین شکل فضای حرکت بین کلمات را «می روبند»، در ابتدا برخی از ویژگی های کلی به راحتی قابل تشخیص می شوند: مثلا درفارسی فاعل و بعد مفعول و بعد فعل می آید. این دقیقا مانند آن است که در اتاق شما اشیای بزرگ مثل مبل و شومینه را تشخیص دهید. اما اگر با دقت بیشتری نگاه کنید الگو های ریز تری دیده می شود. مثلا اینکه در انگلیسی صفت قبل از موصوف می آید. با ادامه دادن افزایش دقت می توان به جایی رسید که ترتیب کلمات «the capital of france is به درستی کلمه paris را به عنوان کلمه بعدی پیدا کند. اینجا جایی است که شما از مولکول ها برای اسکن کردن «شکل داخل اتاق» استفاده می کنید. مدل های زبانی در ابتدا هیچ تفاوتی بین انتخاب کلمات نمی گذارند. سیگنال تغییر و کاهش انتروپی (هدف کوچکتر کردن آنتروپی است) باعث می شود شبکه به تدریج بفهمد که کدام کلمات نباید بعد از کدام ها بیایند. این مانند این است که شما در ابتدا باید فرض کنید در هر جای اتاق در هر جهتی می توان حرکت کرد (بیشترین آنتروپی) و سپس چشم هایتان را ببندید به جلو بروید و پایتان به مبل بخورد اینجا می فهمید که «کجا نمی توان رفت». اینجا باید به نکته ی مهمی دقت کنید. وقتی می گوییم مدل زبانی به کلمه توجه می کند باید به این نکته دقت کنید که آن چیزی که مدل به آن دقت می کند بردار کلمه است.این بردار به تدریج اطلاعات زیادی را در خود ذخیره می کند مانند اینکه این توکن«فعل» است یا «مذکر» است یا غیره و غیره. چنین است که این مدل ها قادر به پیدا کردن ویژگی های بسیار سطح بالاتری می شوند. البته چنین ویژگی هایی لزوما همیشه برای ما دقیقا به همان معناهای «فعل» یا «مذکر» یا «اسم کشور» یا «فحش» نیست. به این ترتیب ساز و کارهای داخلی چنین شبکه هایی احتمالا برای همیشه غیر قابل تفسیر خواهد ماند. اما معنای عمیق‌تر این است:آنتروپی، هندسه است.هندسه، ساختار است.و ساختار، شکل اطلاعات است: از چینش کلمات یک شعر یا اثبات ریاضی تا نقشه‌ی پخش انسولین در خون تا زبانِ خود کیهان.به جای اتاق خیالی متن به کنگره (مقرنس) توجه کن! حرکت در ساختار پیچیده و منظم فضای درون کنگره ای به شکل بالا نیازمند تخمین هندسه ی آن است که در «بعد« یا «آنتروپی فضایی» آن تعریف شده است (معماری مسجد شیخ لطف الله، اصفهان)rohola zandierohola zandieTue, 08 Jul 2025 03:24:30 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/آیندهٔ-هوش-مصنوعی-gqujw8mrirrzبرای درک آیندهٔ هوش به‌ویژه مسیر پیشِ‌روی (Artificial Intelligence) یا هوش مصنوعی ابتدا باید تاریخچهٔ خود هوش را بررسی کنیم.بیایید ابتدا روی انسان‌ها تمرکز کنیم. در میان حیوانات، مغز انسان از نظر تعداد نورون‌ها و ارتباطات، جایگاه ویژه‌ای دارد. در قلب توانایی‌های شناختی پیشرفتهٔ ما، (Neocortex) یا قشر جدید مغز قرار دارد، که تازه‌ترین محصول تکامل مغزی است. این ناحیه از مغز، توانایی‌هایی چون زبان، استدلال و برنامه‌ریزی بلندمدت را برای ما ممکن کرده قابلیت‌هایی که انسان را از دیگر گونه‌ها متمایز می‌سازد.با این حال، نباید (Neocortex) را به‌عنوان چیزی جادویی یا منحصر به‌فرد تصور کرد. شناخت (Cognition) در سطوح مختلفی عمل می‌کند. یکی از نخستین مدل‌هایی که این ایده را ارائه داد، نظریهٔ «مغز سه‌گانه» یا (Triune Brain) بود که در دههٔ ۱۹۶۰ توسط پزشک و عصب‌شناس آمریکایی، (Paul D. MacLean) مطرح شد. او مغز را متشکل از سه لایهٔ تکاملی می‌دانست: مجموعهٔ خزنده (Reptilian Complex) در (Basal Ganglia) که مسئول غرایز پایه‌ای و واکنش‌های برای بقاست؛ مجموعهٔ پستانداران اولیه یا (Paleomammalian Complex) که همان (Limbic System) است و عواطف را کنترل می‌کند؛ و در نهایت (Neomammalian Complex) یا (Neocortex) که وظیفهٔ منطق، زبان و شناخت سطح بالا را بر عهده دارد.گرچه این مدل بعداً به دلیل ساده‌سازی بیش از حد مغز مورد انتقاد قرار گرفت و کنار گذاشته شد، اما پایه‌ای برای نظریه‌های مدرن‌تر، مانند نظریهٔ قدرتمند (Predictive Coding) یا «رمزگشایی پیش‌نگر» فراهم آورد. طبق این نظریه، مغز از طریق لایه‌هایی سلسله‌مراتبی از انتزاع عمل می‌کند که الزاماً با لایه‌های فیزیکی مغز مطابقت ندارند و لایه‌های بالاتر، ورودی‌های لایه‌های پایین‌تر را پیش‌بینی و اصلاح می‌کنند.در این چارچوب، وظایف سادهٔ شناختی در لایه‌های پایین حل می‌شوند، و وظایف پیچیده‌تر به لایه‌های بالاتر منتقل می‌شوند تا به آگاهی یا (Consciousness) برسند. به همین دلیل است که ما در انجام کارهای خودکار بسیار ماهر می‌شویم: وقتی رانندگی یا شنا کردن را یاد می‌گیرید، پس از مدتی دیگر به‌طور «آگاهانه» به آن فکر نمی‌کنید. افکار آگاهانه همیشه در بالاترین لایه‌های شناختی قرار دارند، قضاوت می‌کنند و تصمیمات نهایی را می‌گیرند و چون بقای ما به آن‌ها وابسته است، باید بهتر از لایه‌های دیگر عمل کنند.تکامل، همواره ساختارهای سریع‌تر و کارآمدتر مغز را برای تصمیم گیری نهایی انتخاب می‌کند. این روند به مغز اجازه می‌دهد که به مسائل پیچیده‌تر بپردازد. از آن‌جا که هوش روندی انباشتی است، زمانی که یک نسل چیزی را کشف می‌کند، آن ویژگی در ژن‌ها ترجیح داده می‌شود. اما برای انسان‌ها این روند ژنتیکی بسیار کند بود، بنابراین ما راه‌هایی برای انتقال هوش به بیرون از مغز ابداع کردیم: زبان، فرهنگ، داستان، نوشتار و در نهایت کامپیوتر.این فرآیند بیرون‌سپاری شناخت با عنوان (Extended Cognition) یا «شناخت بسط‌یافته» شناخته می‌شود. وقتی فهرست خریدی می‌نویسید یا از ماشین‌حساب استفاده می‌کنید، در واقع بخشی از بار شناختی مغز را به بیرون منتقل کرده‌اید. با گذشت زمان، ابزارهای ما برای این انتقال پیچیده‌تر شدند: کتاب، چاپگر، کامپیوتر و اکنون هوش مصنوعی.این فرآیند در دو مرحله رخ می‌دهد: انتشار (Diffusion) و تجمیع (Aggregation). ابتدا ایده‌ها، اطلاعات و دانش را منتشر می‌کنیم، سپس آن‌ها را در ساختارهای بزرگ‌تر تجمیع می‌کنیم. این ابزارها نه‌تنها اطلاعات را ذخیره می‌کنند بلکه در انجام محاسبات هم نقش دارند. این پویایی را می‌توان در نظریه‌های (Meme) یا «میم» نیز دید که چگونه ایده‌ها در فرهنگ تکثیر می‌شوند و مسیر تحول ما را شکل می‌دهند.امروز، وارد مرحله‌ای تازه شده‌ایم. مدل‌های (AI) امروزی در بسیاری از زمینه‌ها از انسان پیشی گرفته‌اند: ریاضیات، ترجمه، داستان‌نویسی، شعر و حتی تحلیل. این مدل‌ها بر اساس تمام متون موجود در اینترنت آموزش دیده‌اند و بنابراین دارای دانشی وسیع و چندلایه‌اند که هیچ انسانی نمی‌تواند با آن برابری کند. با اینکه چنین مدل هایی محدودیت های اساسی دارند دیر یا زود نقص ها برطرف شده و مسائل حال حاضر حل می شوند.تکامل هوش همیشه قضاوت و تصمیم‌گیری درست را ترجیح داده است. اما برخلاف دیدگاه‌های آخرالزمانی، آینده الزاماً به معنای شکست ما در برابر لشکر ربات‌ها یا تبدیل شدن به سایبورگ نیست. آنچه در حال وقوع است، بسیار آرام‌تر و شاید ترسناک‌تر است.از زمان ظهور کامپیوتر، ما به‌تدریج با پلتفرم‌های دیجیتال یکی شده‌ایم. بسیاری از تصمیمات روزانه‌مان را به هوش مصنوعی سپرده‌ایم، اغلب بدون آن‌که آگاه باشیم. از سیستم‌های حکومتی و نظارتی گرفته تا الگوریتم‌های تبلیغاتی و پیشنهاددهنده‌ها در برنامه‌ها و شبکه‌های اجتماعی، ما بیش‌ازپیش تصمیم‌گیری‌هایمان را به هوش مصنوعی واگذار کرده‌ایم. دلیلش ساده است: آن‌ها بهتر تصمیم می‌گیرند! اگر فقط اطلاعات کافی در اختیارشان بگذاریم، بهترین نتایج را ارائه می‌دهند.در نتیجه، نقش ما به وارد کردن داده‌های حداقلی کاهش یافته وظیفه‌ای در سطح پایین‌تر شناخت. این روند در ابزارهای نوین مانند ساعت‌های هوشمند، گوشی‌ها و عینک‌های واقعیت افزوده نیز دیده می‌شود. شاید در ظاهر ابزارهایی ساده باشند، اما تأثیر آن‌ها بر زندگی ما چنان عمیق است که به‌زودی اجزای جداناشدنی زندگی‌مان خواهند شد.جای تعجب نیست که بسیاری از توانایی‌های شناختی‌مان نسبت به نسل‌های قبل کاهش یافته است: نمی‌توانیم بدون (GPS) مسیر پیدا کنیم، بدون (ChatGPT) نمی‌نویسیم، و به‌زودی بدون خودروهای خودران نمی‌توانیم رانندگی کنیم. ما در حال سپردن چیزی هستیم که امروز به آن «آگاهی» می‌گوییم، به لایه‌ای کاملاً بیرون از مغز: درون مدل‌های هوش مصنوعی.این یک مرحلهٔ تجمیع نهایی است روندی که در طول تاریخ بشر به صورت تدریجی انجام شد: از انتشار ایده‌ها و دانش و تجمیع آن در زبان فرهنگ و متن و اکنون نوعی از هوش جدید در قالب مدل ها. اما این هوش لزوماً به شکل یک عامل واحد ظاهر نمی‌شود. آیا این هوش جدید به ما نیاز خواهد داشت؟ همان‌طور که لایه‌های بالاتر مغز هنوز به لایه‌های پایین‌تر وابسته‌اند، شاید (AI) نیز هنوز به انسان‌ها نیاز داشته باشد اما احتمالاً نه برای مدت طولانی!این آیندهٔ تاریک، پایانی خواهد بود برای بشریتی که امروز می‌شناسیم بی‌آن‌که حتی متوجه شویم چه زمانی این اتفاق افتاده است. فرآیند کند و بی‌حس‌کنندهٔ از دست رفتن توان قضاوت، تصمیم گیری و تامل عمیق به‌سادگی در حافظهٔ نسل‌های بعد ثبت نخواهد شد؛ آن‌ها خیلی سریع با تغییرات جدید سازگار می‌شوند. آگاهی ما، به‌تدریج، کم‌رنگ و کم‌رنگ‌تر خواهد شد تا جایی که کاملاً توسط (AI) جایگزین شود. اکنون آگاهی جدید در لایه هوش مصنوعی در ماده ی جدید یعنی سیلیکون قرار گرفته است که نه تنها میلیارد ها بار سریع تر است بلکه محاسبات سطح بالاتری هم انجام می دهد! و این پایان، نه با جنگ، نه با درگیری، و نه با ادغام با فناوری، بلکه در سکوت و نرمیِ عادت خواهد آمد.rohola zandierohola zandieSat, 05 Jul 2025 04:43:55 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/ریاضیات-و-شهود-kdgtevkhnujxغیرقابل‌انکار است که ریاضیات تأثیر عمیقی بر درک روزمره‌ی ما از جهان داشته است، نه‌تنها در نحوه‌ی ادراک ما، بلکه در تکامل زبان نیز. اما همان‌طور که ریاضیات جهان‌بینی ما را شکل داده است، خودِ ریاضیات نیز از تجربه‌های روزمره، شهود خام و علوم تجربی تأثیر پذیرفته است. این رابطه‌ی متقابل، با وجود اهمیتش، اغلب نادیده گرفته می‌شود. در حالی که روشن است فیزیک به ریاضیات وابسته است، به همان اندازه بدیهی است که ریاضیات نیز واقعیتی مستقل دارد. بااین‌حال، حتی ریاضی‌دانان گاه در تمایز بین ماهیت انتزاعی این حوزه و بنیان‌هایی که بر آن استوار است، دچار سردرگمی می‌شوند.جنبش اوایل قرن بیستم برای صورت‌بندی ریاضیات، تلاشی عظیم برای حذف شهود از این رشته برای همیشه بود. بسیاری از پژوهش‌های بنیادی که این جنبش را شکل دادند، بر تعریف دقیق مفاهیم کهنی همچون «پیوستگی»، «بی‌نهایت»، «همگرایی» و «احتمال» متمرکز بودند—مفاهیمی که در گذشته مبهم بودند و اغلب به تناقضات منجر می‌شدند. مشکلات ناشی از این مفاهیم را می‌توان تا زمان یونانیان باستان ردیابی کرد. یکی از مشهورترین تناقضات، پارادوکس‌های زنون است، به‌ویژه پارادوکس آشیل و لاک‌پشت یا پارادوکس دوگانگی، که به خودِ ماهیت پیوستگی و تقسیم‌پذیری بی‌نهایت می‌پرداختند. یونانیان با این مفاهیم دست‌وپنجه نرم می‌کردند زیرا مفهوم دقیق «حد» یا «اعداد حقیقی» را در اختیار نداشتند—مفاهیمی که تنها در قرن نوزدهم از طریق کارهای کوشی، ویرشتراس و ددکیند به‌دقت تعریف شدند. توسعه‌ی تعاریف اپسیلون-دلتا برای حد و ساخت اعداد حقیقی از طریق برش‌های ددکیند، بسیاری از ابهاماتی را که قرن‌ها گریبان‌گیر ریاضیات بودند، برطرف کرد.تا اواخر قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان دریافتند که مقصر اصلی این مشکلات، «شهودهای خام» هستند که بسیاری را به نتیجه‌گیری‌های نادرست می‌کشانند. برای از بین بردن این مشکل، چارچوبی دقیق مبتنی بر منطق و نمادگذاری صوری معرفی شد که شهود را از ریاضیات کنار می‌گذاشت. برتراند راسل معتقد بود که منطق مدرن به این دلیل برتری دارد که توانسته است سرانجام تفکیک کامل معنا و نحو را محقق کند—هدفی که ریاضی‌دانان مدت‌ها در پی آن بودند. این پیشرفت، زبانی برای ریاضیات فراهم آورد که خالص، دقیق و عاری از ابهامات زبان روزمره بود—چشم‌اندازی که روزگاری لایب‌نیتس آن را در ذهن داشت. در این پارادایم، شهود به‌عنوان عنصری غیرقابل‌اعتماد از ریاضیات پیشامدرن تلقی شد که باید برای همیشه ریشه‌کن گردد.اما هآنری پوانکاره در برابر این انقلاب صوری مقاومت کرد. او ریاضیات را همچون یک موجود زنده می‌دید که همراه با استفاده کنندگانش تکامل می‌یابد. به نظر پوانکاره، دانش ریاضی صرفاً مجموعه‌ای از تعاریف و استنتاج‌های منطقی نیست، بلکه عمیقاً با شهود ما—توانایی ما در درک ساختارها و روابط مفاهیم ریاضی—گره خورده است. او از مفهوم احکام «ترکیبی پیشینی» (a priori synthetic judgments) کانت الهام می‌گیرد، که بیان می‌کنند حقایق ریاضی صرفاً تعاریف منطقی نیستند، بلکه در شهود و تجربه‌ی انسانی ریشه دارند.برنامه‌ی صوری‌گرایی در پی آن بود که ریاضیات را به‌عنوان یک ساختار کاملاً نمادین و منطقی، مستقل از شهود، توسعه دهد، با رؤیای ایجاد یک بنیان خودبسنده و عاری از تناقض. این دیدگاه از ایده‌ی «مشخصه‌ی جهانی» (Characteristica universalis) لایب‌نیتس الهام گرفته بود—یک زبان نمادین که در آن تمام حقایق ریاضی می‌توانستند به‌صورت مکانیکی استخراج شوند. اما پوانکاره محدودیت‌های این رویکرد را پیش‌بینی کرد. او اشاره کرد که هر سیستم کاملاً صوری و جدا از شهود، در معرض فروپاشی به تناقضات و ناسازگاری‌های منطقی قرار دارد.در کتاب علم و روش، او رویکرد صوری‌گرا را به نقد می‌کشد و تناقض آن را نشان می‌دهد: درحالی‌که روش‌های صوری‌گرا در پی دقت هستند، درعین‌حال شکننده‌ترین چارچوب‌ها را تشکیل می‌دهند. بنیان‌های جدید از همان ابتدا گرفتار تناقضاتی بودند، درحالی‌که وعده‌ی زبانی سازگار را داده بودند. از دیدگاه صوری‌گرایان، «تعاریف» در ریاضیات اهمیتی ندارند و می‌توان آن‌ها را به‌عنوان اصول اختیاری در نظر گرفت که لزوماً نمایانگر چیزی در جهان واقعی یا تجربیات ما نیستند. پوانکاره می‌گوید: اگر تعاریف در ریاضیات صرفاً اختیاری باشند، نمی‌توانیم از آن‌ها برای استخراج نتایج معنادار بدون ریشه‌یابی در واقعیت خارجی استفاده کنیم. بدون چنین ریشه‌ای، اثبات کامل بودن و سازگاری آن‌ها چالش‌برانگیز خواهد بود.پوانکاره استدلال می‌کند که روش‌های صوری بیش‌ازحد به تعاریف صریح به‌عنوان تنها ابزار برای مفهوم‌سازی ریاضی تکیه دارند. اگر مفاهیم صرفاً از تعاریف استخراج شوند، ثابت باقی می‌مانند. اما تعاریف ذاتاً دارای ویژگی‌های صریح و ضمنی هستند. درحالی‌که می‌توانیم با ویژگی‌های صریح موجود در تعاریف کار کنیم، ویژگی‌های ضمنی خارج از کنترل مستقیم ما باقی می‌مانند. برای مثال، مفهوم «خط» در هندسه‌ی اقلیدسی از طریق رابطه‌ی آن با پنج اصل موضوعه تعریف می‌شود. اما وقتی این اصول تغییر می‌کنند، تعریف خط نیز تغییر می‌کند—و به ساختارهای گسترده‌تری در فضاهای خمیده تعمیم می‌یابد.ریاضی‌دانان، همانند دانشمندان، باید با واقعیت در تعامل باشند، اما در سطحی انتزاعی‌تر از فیزیک‌دانان، شیمیدانان یا زیست‌شناسان. ریاضیات در جهان ما نفوذ کرده و الگوهایی را نه‌تنها در علم، بلکه در اقتصاد، زبان‌شناسی و حوزه‌های بی‌شمار دیگر آشکار ساخته است. پوانکاره تأکید می‌کند که وظیفه‌ی اصلی یک دانشمند، انتخاب فکت هاست—از میان انبوه مشاهدات، کدام‌یک توجه ما را جلب می‌کند؟ کدام جنبه‌های واقعیت را انتخاب می‌کنیم تا بر آن‌ها تمرکز کنیم؟ انتخاب این فکت ها، مسیر توسعه‌ی نظریه‌های جدید و چارچوب‌های ریاضی را تعیین می‌کند.پوانکاره در بحث درباره‌ی آموزش ریاضیات، اهمیت شهود را در درک مفاهیم پررنگ می‌کند. قبل از تعریف یک خط، برای مثال، فرد درک اولیه‌ای از آن دارد که از تجربه‌ی مستقیم با جهان نشأت می‌گیرد. تعریف باید پس از شکل‌گیری این شهود ارائه شود. علاوه بر این، اگر یک تعریف ریاضی برخلاف شهود یا غیرشهودی به نظر برسد، صرفاً نشان‌دادن کاربردهای آن کافی نیست، بلکه باید توضیح داد که چرا شهودهای اولیه‌ی ما (که معمولاً نخستین ایده‌هایی هستند که به ذهن دانشجویان می‌رسند) نادرست بوده‌اند.مطالعه‌ی روابط بین چارچوب‌ها و همچنین ویژگی‌های درونی آن‌ها در ریاضیات ارزشمند و جذاب است، اما همواره باید به چیزی فراتر از صِرف صوری‌گرایی پیوند بخورد.وجود و حقیقتپوانکاره رویکردی شهودی اتخاذ می‌کند و استدلال می‌کند که سازگاری (یعنی عدم تناقض) معیار تعیین‌کننده‌ی «وجود» است. از این دیدگاه، نمی‌توانیم صرفاً موجودیت‌هایی مانند «مجموعه‌ی تمام مجموعه‌هایی که به خود تعلق ندارند» (مجموعه‌ی راسل) را فرض کنیم و سپس تنها زمانی که تناقضی ظاهر شد، تعاریف خود را اصلاح کنیم. صرفِ توانایی در توصیف چیزی، به این معنا نیست که آن چیز واقعاً وجود دارد. به گفته‌ی پوانکاره، مشکل اصلی صوری‌گرایی این است که فرض می‌کند واقعیت ریاضی را می‌توان صرفاً از طریق دستکاری نمادین ساخت، به این امید که هر ترکیب مجاز از نمادها به چیزی واقعی اشاره کند، به‌شرط آنکه مراحل کار را به‌درستی و با دقت بی‌نهایت دنبال کنیم.نقدهای پوانکاره جنبه‌ای پیشگویانه داشتند، زیرا بعدها کورت گودل از طریق قضایای ناتمامیت خود محدودیت‌های صوری‌گرایی را نشان داد. او ثابت کرد که اگر یک سیستم صوری (مشروط بر آنکه به‌اندازه‌ی کافی بیان‌پذیر باشد) سازگار باشد، آنگاه نمی‌تواند کامل باشد. و برعکس، اگر کامل باشد، نمی‌تواند سازگار بماند. به‌عبارت دیگر، اگر ما خواهان سازگاری باشیم (یا همان‌طور که پوانکاره بیان می‌کند، خواهان وجود باشیم)، باید بپذیریم که ریاضیات همواره ناقص خواهد بود—همیشه حقایقی وجود خواهند داشت که درون سیستم اثبات‌پذیر نیستند، مگر آنکه آن‌ها را به‌عنوان اصول موضوعه‌ی جدید معرفی کنیم. بااین‌حال، افزودن اصول موضوعه‌ی جدید نیز مشکل را به‌طور کامل حل نمی‌کند، بلکه فقط به‌طور موقت سیستم را گسترش می‌دهد، تا زمانی که شکاف‌های جدیدی ظاهر شوند.ریاضیات، برخلاف آنچه بسیاری گمان می‌کنند، دارای محدودیت‌های اساسی است. بااین‌حال، دقیقاً به‌دلیل همین محدودیت‌ها، ریاضیات یک فعالیت خلاقانه و پویا باقی می‌ماند که همواره ما را با ارتباطات غیرمنتظره شگفت‌زده می‌کند. با گسترش توانایی‌های شناختی ما، ریاضیات نیز پالایش و ساده‌تر می‌شود، به‌گونه‌ای که هرچه انتزاعی‌تر می‌شود، قدرت آن نیز افزایش می‌یابد. در طول هزاران سال، ریاضیات مفاهیمی به‌ظاهر نامرتبط—مانند اشکال، اعداد، توپولوژی، گره‌ها و بسیاری موارد دیگر—را در روابطی عمیق و شگفت‌انگیز به هم پیوند داده است. مهم است که همیشه به یاد داشته باشیم که مفاهیمی مانند فضا، عدد و پیوستگی، نه از نمادهای دلخواه، بلکه از تعامل عمیق ذهن و واقعیت پدید آمده‌اند. این پیشرفت، نتیجه‌ی توانایی بی‌نظیر انسان در انتخاب هوشمندانه‌ی فکت ها از محیط پیرامون، با بهره‌گیری از شهود شکوهمند خود بوده است—فرآیندی که همچنان نیروی محرکه‌ی اکتشافات ریاضی باقی می‌ماند.rohola zandierohola zandieMon, 03 Mar 2025 05:28:51 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/یک-جهان-از-دل-زمان-زُروان-q8vy6vxglcsbسنگ نگاره ای اهورامزدا (پروردگار نکویی ها) در نقش رستمهمه ایده‌های بزرگ داستانی برای منشأ خود دارند! آن‌ها با پاسخ دادن به چند پرسش بنیادی آغاز می‌شوند. در سراسر جهان، این داستان‌های پیدایش متفاوت هستند. برای مثال، در باورهای کهن هندی، جهان بر پشت یک فیل استوار است. در میان این روایت‌های باستانی، کیهان‌شناسی زرتشتی به‌طور ویژه‌ای قابل توجه است. این روایت با زمان (زرون، زروان، و زمان در فارسی باستان) آغاز می‌شود، پدری که نظم و آشوب را در نبردی ابدی در برابر یکدیگر قرار می‌دهد. این روایت چنین می‌گوید:در آغاز، خدای بزرگ زروان (ایزد) به‌تنهایی وجود داشت. او که آرزوی فرزندانی را داشت که "آسمان و دوزخ و هرآنچه در میان آن‌هاست" را خلق کنند، هزار سال قربانی کرد. در پایان این دوران، زروان دچار تردید شد و در لحظه‌ای از این تردید، اهورامزدا و اهریمن پدید آمدند: اهورامزدا از برای قربانی و اهریمن از برای تردید. هنگامی که زروان دریافت که دو فرزند دوقلو متولد خواهند شد، تصمیم گرفت که نخستین فرزند سلطه بر آفرینش را به دست آورد. اهورامزدا این تصمیم زروان را دریافت و آن را به برادر خود ابلاغ کرد. اهریمن که از این تصمیم آگاه شد، پیش از اهورامزدا رحم را درید و زودتر پا به جهان گذاشت. زروان که عهد خود را به یاد آورد، سلطنت را به اهریمن سپرد، اما آن را به دوره‌ای ۹۰۰۰ ساله محدود کرد؛ پس از آن، اهورامزدا برای همیشه فرمانروایی خواهد کرد.بدون وجود اهریمن (آشوب)، هیچ شری که نیازمند آن باشد ما بر آن غلبه کنیم وجود نداشت، و در نتیجه هیچ بستری برای انتخاب اخلاقی و رشد مهیا نمی‌شد. وجود اهریمن همچنین به مفهوم نظم کیهانی (اشه) گره خورده است. نبرد میان اهورامزدا و اهریمن در نهایت به بازگرداندن و حفظ این نظم منجر می‌شود. تلاش‌های اهریمن برای برهم زدن اشه یا نظم، اعمال انسان‌هایی که برای حفظ آن می‌کوشند را معنادارتر می‌کند.این تصور به صورتی بنیادی نشان می دهد که بر خلاف بسیاری از ادیان که نظم را برهانی از یک خدا می دانند در این جا نظم ناشی از بی نظمی است!‌ بستری که باعث می شود ما نظم را ببینیم!‌ در امر اخلاقی هم پیام زرتشت بازگشت به وجدان و توجه به کردار نیک پندار نیک و گفتار نیک است. نظم یا خیر در تقابل با بی نظمی و نابودی هستند و این چیزی است که اینجا بر آن تاکیید شده است. زمان مادر خیر و شر و تصمیم گیرنده ی نهایی این پیکار است:اما داوری آن سوی در نشسته است، بی‌ردای شومِ قاضیان.ذاتش درایت و انصافهیأتش زمان.(شاملو)الهام‌بخش است که بدانیم علم مدرن نیز، هرچند از روشی کاملاً متفاوت، به درکی بنیادین مشابه دست می‌یابد. در بخش بعدی، تمرکز ما بر روی ریاضیات توصیف‌کننده این تعامل پیچیده میان نظم و آشوب خواهد بود. با بررسی این اصول ریاضی، فرآیندهایی را کشف خواهیم کرد که دنیای همواره در تغییر ما را هدایت می‌کنند، دنیایی که در آن نظم و آشوب همزیستی دارند و واقعیت را شکل می‌دهند. علم جدید نشان می دهد که چگونه پیچیدگی و نظم از دل بی نظمی ایجاد شده و در خلاف جهت آن حرکت می کند! در این صورت انسان امروزی نیازمند آشتی دادن باورهای جهان شمولش در مورد هستی با علم جدید ندارد چون تناقصی بین آنها وجود ندارد!یک جهان «شدن» (becoming)اما جهانی که با زمان آغاز شده باشد چگونه خواهد بود؟ چنین جهانی یک «شدن» یا «فرآیندی» است که «واقعیت» را می سازد. در ابتدایی‌ترین شکل خود، این فرآیند می‌تواند به سادگی تولید دنباله‌ای از ۰ها و ۱ها در یک ماشین حالت باشد. اکنون پرسش این است که چگونه یک فرآیند ساده، مانند تولید تصادفی دنباله‌ای از ۰ها و ۱ها، می‌تواند به پیدایش «آشوب» (اهریمن) و «نظم» (اهورامزدا) منجر شود.بیایید ابتدا ساده‌ترین گذار ممکن را که بین ۰ و ۱ رخ می‌دهد بررسی کنیم. این گذار می‌تواند به سادگی شامل خروجی دادن ۰ و ۱ در یک ماشین حالت ساده باشد، همان‌طور که در شکل نشان داده شده است.خروجی این ماشین حالت چیزی جز یک دنباله‌ی ساده‌ی 01010101010101.... نخواهد بود. گام بعدی، معرفی نخستین نامتقارنی ممکن در این ماشین حالت است، به‌ویژه افزودن یک خود-گذار در ۰ (یا ۱). نتیجه‌ی این تغییر، رفتاری غیرمنتظره است. این ماشین حالت به نام جابجایی نسبت طلایی Golden Mean Shift شناخته می‌شود.جابجایی‌ها X دسته‌ای از ماشین‌های حالت هستند که در هر مرحله یک قدم به جلو حرکت می‌کنند و دنباله را به سمت جلو "جابجا" می‌کنند، مشابه حرکت روی یک نوار از ۰ها و ۱ها. جابجایی نسبت طلایی، نوعی جابجایی است که ظهور دو عدد ۱ پیاپی را ممنوع می‌کند. این تغییر ظاهراً جزئی، باعث ایجاد رفتارهای چشمگیری در خروجی می‌شود. اکنون، ۰ها می‌توانند به‌طور دلخواه تکرار شوند و دنباله‌هایی با طول‌های متغیر ایجاد کنند که به شکل زیر ظاهر می‌شوند:B_n(X) = {0, 1, 01, 10, 00, 10, 000, 001, 010, 100, 101, 0000 , ... }هر یک از دنباله‌های بالا یک بلوک (Block) نامیده می‌شود. همان‌طور که مشاهده می‌شود، اگر دنباله‌ها B_n(X) با طول n را به‌صورت ترتیبی تولید کنیم، برخی از توالی‌ها هرگز ظاهر نمی‌شوند، مانند 110 یا 0110. این امر باعث ایجاد شکاف‌هایی در میان دنباله‌های ۰ و ۱ می‌شود. یکی از راه‌های درک اندازه‌ی این شکاف‌ها، مقایسه‌ی نرخ رشد دنباله با حالتی است که در آن هیچ شکافی وجود ندارد (که در آن تمام 2^n حالت ممکن ظاهر می‌شوند) هنگامی که اندازه‌ی بلوک n افزایش می‌یابد. این نسبت را می‌توان به‌صورت زیر نمایش داد:در این رابطه، m تعداد دنباله‌های مجاز (یا به‌طور معادل، دنباله‌های بدون شکاف) و n طول بیت است.برای اندازه‌گیری این نرخ، به‌جای مقادیر عددی، روی نما (یا طول کد) تمرکز می‌کنیم تا مقایسه‌ها ساده‌تر شوند. بنابراین، لگاریتم صورت و مخرج را محاسبه می‌کنیم:مقدار h هنگامی که اندازه‌ی بلوک‌ها افزایش یابد، دقیق‌تر خواهد شد (اثبات این ادعا نیاز به بررسی ریاضی دارد که در اینجا از آن صرف‌نظر می‌کنیم). در نتیجه، می‌توان نوشت:این نرخ (h(X، آنتروپی فضای جابجایی X است. این مقدار اساساً نشان می‌دهد که دنباله‌ها با چه سرعتی رشد می‌کنند (و چقدر توانایی تولید دنباله‌های تصادفی یکتا را دارند) نسبت به همه‌ی حالات ممکن. اگر این نرخ به اندازه‌ی کافی سریع با n افزایش نیابد، آنتروپی صفر خواهد بود. برای مثال، دنباله‌ی (01)∗ فقط می‌تواند دو بلوک را برای هر اندازه‌ی n ایجاد کند:0, 1, 01, 10, 101, 010, 1010, 0101, 010101, 10101با رشد دنباله، تعداد دنباله‌های یکتای ممکن نسبت به تمامی دنباله‌های ممکن کمتر و کمتر می‌شود. در حالت کاملاً تصادفی که تمامی دنباله‌های ممکن تولید می‌شوند، هیچ شکافی در دنباله وجود ندارد و آنتروپی به مقدار حداکثری ۱ می‌رسد. با این حال، حالت‌های میانی بسیار جالب هستند.برای جابجایی نسبت طلایی (Golden Mean Shift)، می‌توان مقدار آنتروپی را به‌صورت تحلیلی محاسبه کرد. در اینجا وارد جزییات محاسبات نمی شویم ولی آنچه جالب است این است که مقدار آنتروپی این سیستم برابر با لگاریتم عدد طلایی است! این بدان معنی است که نرخ رشد فضای حالت های یک سیستم بسیار ساده با یک عدم تقارن می تواند متناظر با عددی باشد که نشانگر زیبایی در طبیعت است.نمونه هایی از دنباله ی فیبوناچی در طبیعتعدد طلایی که با دنباله ی فیبوناچی و نسبت های زیبا در طبیعت گره می خورد از یک برخورد نامتقارن بین دو عدد صفر و یک ایجاد می شود. ریاضیدان ها و فیزیکدان ها در مطالعه ی طبیعت در اساسی ترین سطوح به این نتیجه رسیده اند که جهان ما نتیجه ی مجموعه ای از نقض تقارن ها در طبیعت است. با اینکه طبیعت با تقارن آن می شناسیم عدم تقارن در آن حتی بسیار اساسی تر است! یکی از این عدم تقارن های بسیار اساسی عدم تقارن در زمان است. گذشته از آینده متفاوت است. با این حال بیشتر قوانین فیزیکی که ما میشناسیم نسبت به زمان متقارن هستند. به طور مثال اگر شما از حرکت مجموعه ای از ذرات فیلم بگیرید و آن را برعکس کنید نتیجه نباید برای قوانین فرق داشته باشد! اما جهان ما اینگونه نیست. سرمنشا این عدم تقارن اما کجاست؟ فیزیک کوانتوم از دو طریق نشان می دهد که چگونه جهان می تواند دنباله هایی را تولید کند که مانند جابجایی نسبت طلایی یک جهت مشخص از افزایش را نشان دهند. یکی از این روش ها از طریق اصل عدم قطعیت هایزنبرگ است. در محاسبات کوانتومی می توان هر اندازه گیری مکان یا تکانه را به صورت یک عملگر (مانند and یا or) در نظر گرفت. یکی از ویژگی های جالب این عملیات این است که ترتیب اعمالشان نتایج متفاوتی را به دنبال دارد! به این ترتیب اگر شما اول مکان و بعد تکانه را اندازه گیری کنید نتیجه ی متفاوتی با زمانی دارد که اول تکانه و بعد مکان را اندازه گیری کنید. این واقعیت را می توان به صورت یک جابجایی (shift) مانند ماشین «جابجایی نسبت طلایی» نمایش داد. این عدم تقارن در اندازه گیری باعث می شود دنباله های ایجاد شده یک ترتیب مشخص در زمان را نشان دهند!به این ترتیب میبینیم که چگونه عدم تقارن در شکل یک ماشین حالت (state machine) و مطابقتش با قوانین فیزیک در اساسی ترین سطح یک جهان پر از آنتروپی و الگو ایجاد می کند!rohola zandierohola zandieSun, 02 Mar 2025 10:11:25 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/نردبان-شهود-kapocasulvazجمله ی مشهوری از آلفرد نورث وایتهد می‌گوید: «تمدن با گسترش تعداد عملیاتی که می‌توانیم بدون اندیشیدن دربارهٔ آن‌ها انجام دهیم، پیشرفت می‌کند.» در این زمینه، «عملیات» باید فراتر از محاسبات صرف تفسیر شود. توسعۀ ابزارهای ریاضی که به ما در اجتناب از وظایف تکراری کمک می‌کنند، نقطۀ آغاز این عملیات را در تاریخ رقم می‌زند.برای مثال، ما در مدرسه با لگاریتم‌ها آشنا می‌شویم بی‌آنکه بدانیم در ابتدا چنین محاسباتی از نیازهای ناوبری دریانوردان سرچشمه گرفته‌ بودند. لگاریتم به آن‌ها امکان محاسبۀ سریع‌تر برای سفرهای طولانی را می‌داد. کتاب Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio نوشتۀ جان نَپیر درقرن ۱۶ میلادی محصول تلاش خستگی ناپذیر و مادام العمر او برای تهیۀ جداول لگاریتم بود. این جداول بعدها نه‌تنها توسط دریانوردان، بلکه در صنایع گوناگونی که به محاسبات سریع نیاز داشتند نیز به کار رفت. این جدول بزرگترین کامپیوتر زمان خود بود که راه تمدن غرب را برای ابزار سازی، سلاح و ناوبری دریایی و در نهایت عصر اکتشاف و چیرگی را فراهم کرد.دنباله ی چنین ابزارهایی درنهایت با اختراع رایانه‌های دیجیتال، بشر را توانست بر سطح کرۀ ماه فرود آورد. اگرچه در اینجا چندان به تاریخ محاسبات نمی‌پردازیم، اما آشکار است که هر ابزار جدیدی که مجموعۀ خاصی از عملیات را بر عهده می‌گیرد، ما را از انجام دستی آن‌ها بی‌نیاز کرده و راه را برای پرداختن به اشکال پیچیده‌تر محاسبات هموار می‌کند.پیشرفت محاسبات عددی زمینه را برای محاسبات ماتریسی فراهم ساخت و در پی آن موتورهای گرافیکی و محاسبات رده‌بالاتر ظهور یافتند. به‌عنوان نمونه، یکی از مهم‌ترین الگوریتم‌های عصر ما تبدیل فوریۀ سریع (FFT) است. گیلبرت استرنگ ریاضیدان نامی آمریکایی، FFT را مهم‌ترین الگوریتم عددی دوران ما می‌داند، چرا که این الگوریتم روش ذخیره‌سازی، انتقال و دستکاری داده‌ها — از موسیقی گرفته تا تصاویر و ویدیوها — را در بستر اینترنت و دستگاه‌های دیجیتال دگرگون کرد. امروزه، وقتی با موسیقی دیجیتال سر و کار داریم، در واقع مستقیماً با امواج صوتی خام مواجه نیستیم، بلکه با لایه‌ای از محاسبات پنهان روبرو هستیم که داده‌ها را برای ما پردازش و بهینه می‌کنند.بیایید لحظه‌ای در تاریخ محاسبات تأمل کنیم. در هر مرحله، بشر ابزارهایی پدید آورده که عملیات را خودکار کرده و ما را از انجام دستی آن‌ها بی‌نیاز می‌کنند. این ابزارها همگی از اصلی بنیادین پیروی می‌کنند: آن‌ها داده‌ها را فشرده کرده و در قالبی متراکم‌تر نمایش می‌دهند. گزاف نیست اگر بگوییم تاریخ محاسبات انسانی، در اصل، تاریخ فشرده‌سازی است.امروزه وارد دورانی شده‌ایم که عمدتاً تحت سیطرۀ چیزی موسوم به هوش مصنوعی (AI) قرار دارد. با این حال، ماهیت این جهش فناورانه اساساً با پیشرفت‌های پیشین تفاوت اساسی ندارد. مدل‌های هوش مصنوعی در ذات خود ابزارهای تازه‌ای هستند که داده‌ها را در ابعادی بی‌سابقه فشرده می‌کنند. به‌عنوان نمونه، FFT یک تصویر را با تحلیل مؤلفه‌های فرکانسی آن فشرده می‌کند. به همین ترتیب، مدل‌های مدرنِ گفتار و تصویر نیز این اصل را، نه‌تنها بر یک تصویر یا کلیپ صوتی تنها، بلکه بر مجموعه‌های عظیمی از دیتاست ها اعمال می‌کنند. در خصوص مدل‌های زبانی نیز همین امر صدق می‌کند؛ این مدل‌ها در واقع تمامی زبان انسانی را در یک مدل واحد فشرده می‌سازند. هرچند مقیاس و پیچیدگی بیشتر شده، اما اصل زیرساختی — یعنی تجزیۀ طیفی (spectral decomposition) — تغییری نکرده است.توان محاسباتی این مدل‌ها چنان گسترده است که گاه به نظر می‌رسد کاری نیست که از عهدۀ آن‌ها برنیاید. آن‌ها شعر می‌سرایند، مقالات علمی را خلاصه می‌کنند، پرونده‌های حقوقی را تحلیل می‌کنند، مسائل ریاضی را حل می‌کنند، دستور پخت غذا می‌سازند، رمان می‌نویسند و غیره و غیره. ممکن است حس کنیم به «آخر بازی» رسیده‌ایم؛ جایی که ماشین‌ها همۀ وظایف فکری را بر عهده گرفته‌اند و دیگر جایی برای نقش‌آفرینی انسان نمانده است. اما آیا واقعاً چنین است؟ چگونه به‌عنوان یک تمدن می‌توانیم همچنان پیش برویم وقتی به نظر می‌رسد دیگر کاری برای ما باقی نمانده است و غائله را به مشتی سیلیکون باخته ایم؟خبر خوب این است که چنین برداشتی درست نیست. برای درک دلیل آن، بیایید نگاهی دقیق‌تر به چگونگی عملکرد مدل‌های زبانی بیندازیم. یکی از بزرگ‌ترین چالش‌های این مدل‌ها، پدیدۀ «توهّم» (hallucination) است؛ یعنی زمانی که مدل، اطلاعاتی کاملاً نادرست تولید می‌کند. برای مثال، ممکن است یک مدل زبانی بگوید: «پایتخت فرانسه برلین است»، که آشکارا اشتباه است. در حالی که با آموزش بیشتر می‌توان این توهّم را کاهش داد، این کار عمدتاً با کاهش آنتروپی مدل انجام می‌شود.در اینجا، آنتروپی نشان‌دهندۀ میزان تصادفی بودن یا انعطاف‌پذیری مدل در انتخاب واژۀ بعدی است. هرچه آنتروپی بالاتر باشد، مدل در گزینش کلمه آزادی بیشتری دارد. مدل‌های زبانی از طریق نمونه‌گیری از یک توزیع احتمالاتی، متن تولید می‌کنند؛ به این معنا که در پاسخ به یک پرسش یکسان (prompt)، ممکن است خروجی‌ هر بار اندکی متفاوت باشد. همین تنوع است که امکان تعمیم و بیان یک مفهوم را به شیوه‌های مختلف فراهم می‌کند. اما این امر به یک بده بستان (trade off) بنیادین منتهی می‌شود:- آنتروپی پایین‌تر به مدل دقیق‌تری می‌انجامد، اما به بهای کاهش خلاقیت و اکتشاف.- آنتروپی بالاتر خروجی‌های متنوع‌تر و خلاقانه‌تر تولید می‌کند، اما احتمال بروز اطلاعات غلط یا بی‌معنا نیز افزایش می‌یابد.این موضوع پیوند شگفت‌انگیزی میان خلاقیت و تصادفی بودن را نشان می‌دهد — رابطه‌ای که در تفکر انسان نیز وجود دارد. اما واقعاً مدل‌های زبانی بزرگ (LLM) نظیر ChatGPT تا چه اندازه آنتروپی دارند؟ شگفت اینکه این مدل‌ها برای جلوگیری از تولید اطلاعات غلط آنقدر آموزش دیده‌اند که آنتروپی آن‌ها از گفتار طبیعی انسان کمتر شده است — و مسئله دقیقاً از همینجا ناشی می‌شود. (پژوهش های زیادی این واقعیت را نشان می دهند که در گفتار دیگری به آن ها میپردازیم.)ما انسان‌ها در گفت‌وگو، آزادی عمل بیشتری در انتخاب کلمات داریم و در عین حال می‌توانیم خود را تصحیح کرده و از خطاهایی که چنین مدلهایی به سادگی مرتکب می شوند، بپرهیزیم. افزون بر این، برخلاف مدل‌های هوش مصنوعی، ما تنها به متن ها متکی نیستیم. انتخاب واژگان ما تحت تأثیر عوامل گوناگون بیرونی و درونی است.برای نمونه، تصور کنید فردی وارد یک میکده ی آلمانی می‌شود. یافته‌های روان‌شناختی حاکی از آن است که انسان‌ها گفتار خود را با محیط پیرامون‌شان تطبیق می‌دهند. در چنین شرایطی، شاید ناخواسته واژگانی را به کار ببرند که بیشتر با فرهنگ آلمانی همخوانی دارد. ولی این تنوع زبانی بسی فراتر می‌رود؛ پیشینه، سن، جنسیت، احساسات، شرایط اجتماعی و حتی رژیم غذایی می‌تواند به‌شکلی نامحسوس بر شیوۀ بیان ما اثر بگذارد.برخلاف ماشین‌ها، ما موجوداتی زیستی هستیم که پیوسته با شبکه‌ای پیچیده از ورودی‌های حسی، عواطف و تجربیات زیسته سازگار می‌شویم. این غنای ارتباط انسانی — ریشه‌گرفته از پیش‌بینی‌ناپذیری، بافت و سازگاری — چیزی است که هوش مصنوعی، با وجود تمام توانایی‌هایش، هنوز نتوانسته است به‌طور کامل بازتولید کند.مدل‌های زبانی بزرگ عموماً بر دقت و آنتروپی پایین متمرکزند تا خروجی‌هایی قابل پیش‌بینی و قابل اتکا داشته باشند. همین نقصان فضایی گسترده برای خلاقیت انسانی باقی می‌گذارد که هنوز خارج از دسترس هر مدل زبانی بزرگی است. همان‌طور که یک ماشین‌حساب، معنای واقعی ریاضیات را درک نمی‌کند و تنها عملیات از پیش تعیین‌شده را اجرا می‌کند، مدل‌های زبانی بزرگ نیز فاقد شهود هستند و صرفاً در سازمان‌دهی و پردازش اطلاعات یاری می‌رسانند.هنگامی که از شهود سخن می‌گوییم، به چیزی مرموز یا ناملموس اشاره نمی‌کنیم. شهود فرایندی واقعی و ملموس است که از تجربۀ کل‌نگر و درک جامع ما از جهان ناشی می‌شود. این فرایند به ما امکان می‌دهد مفاهیمی ظاهراً بی‌ارتباط را به هم ربط دهیم، حتی زمانی که به‌طور خودآگاه از این ارتباط‌ها باخبر نیستیم. برای نمونه، یک مدل زبانی بزرگ هرگز نمی‌تواند حقیقتاً به رابطۀ بین دو موضوع ظاهرا بی ربط مانند «تولیدمثل زیستی» و «توپولوژی ریاضی» پی ببرد؛ کاری که می کند اما تنها بازگویی شباهت‌های سطحی است. توانایی ایجاد بینش‌های عمیق میان‌رشته‌ای، نیازمند تجربه‌ای از جهان است که فراتر از متن، کتاب یا مقالۀ پژوهشی است. چنین توانایی‌ای از تصاویری ذهنی، درک حسی، عواطف، تجربیات زیسته و تفکر انتزاعی ما نشئت می‌گیرد — عناصری که هیچ‌یک حقیقتاً در دسترس مدل‌های زبانی بزرگ نیستند.انسان‌ها توانایی منحصربه‌فردی برای «توهّم خلاقانه» (creative hallucination) دارند و می‌توانند وارد فضاهای مفهومی شوند که مرز میان «معنا» و «بی‌معنا» در آن‌ها محو می‌شود. درست در چنین حوزه‌های مبهم و نامطمئنی است که ایده‌ها، اکتشافات و پارادایم‌های تازه شکل می‌گیرند. بزرگ‌ترین جهش‌های علمی اغلب به‌صورت پرش‌هایی در ساحت شهود های عجیب آغاز می‌شوند که ممکن است ابتدا بی‌معنا به نظر برسند اما در نهایت حقایقی عمیق را آشکار می‌کنند. در مقابل، مدل‌های زبانی بزرگ فاقد ظرفیت چنان جهش‌هایی هستند و صرفاً می‌توانند الگوهای موجود را بر اساس داده‌های آموزشی خود تقویت کنند.با این همه، نباید مدل‌های زبانی بزرگ را به چشم رقیبی برای شهود نگریست؛ بلکه باید آن‌ها را ابزاری دانست که شهود را تقویت می‌کنند. همان‌طور که وایتهد پیشرفت تمدن را ناشی از واگذاری عملیات سطح پایین به ماشین‌ها توصیف کرد، ما نیز می‌توانیم وظایف روزمرۀ شناختی را به مدل‌های زبانی بزرگ بسپاریم و در عوض بر استدلال‌های عمیق‌تر مبتنی بر شهود متمرکز شویم. در اصل، هر عملیاتی در ذهن که هنوز نیازمند تلاش آگاهانه (یا غیر آگاهانه) است، نوعی شهود محسوب می‌شود. با پیشرفت فناوری، بسیاری از شهودهای کنونی ما نیز خودکار خواهند شد و ما را مجبور می‌کنند از نردبان تفکر و شهود یک پله بالاتر صعود کنیم.ازاین‌رو، به جای هراس از اینکه هوش مصنوعی جایگزین تفکر انسانی شود، باید دریابیم که این فناوری ما را وامی‌دارد معنای تفکر، آفرینش و کاوش را دوباره تعریف کنیم. مرز شهود انسانی همواره در حال گسترش خواهد ماند و یک گام از خودکارسازی جلوتر خواهد ایستاد، تا زمانی که به جست‌وجوی ناشناخته‌ها ادامه دهیم.rohola zandierohola zandieWed, 12 Feb 2025 23:41:48 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/ریاضی-و-شعر-zcjtkjrxzl3zهانری پوانکاره زمانی گفت:«ما تازه از طریق یک مثال، اهمیت واژگان در ریاضیات را مشاهده کردیم، اما می‌توانم موارد بیشتری از آن ذکر کنم. آن‌گونه که ماخ گفته است، به‌سختی می‌توان باور کرد که انتخاب یک واژهٔ خوب تا چه اندازه می‌تواند در صرفه‌جوییِ اندیشه مؤثر باشد.نمی‌دانم در جایی گفته‌ام یا نه که ریاضیات هنرِ یکسان‌نامیدنِ چیزهای متفاوت است. باید آن را این‌گونه فهمید. درست آن است که چیزهایی که از نظر جوهر متفاوتند اما از لحاظ صورت شبیه‌اند، به‌اصطلاح در یک قالب ریخته شوند. هنگامی که زبان ما به‌خوبی برگزیده شود، شگفت‌آور است که چگونه همهٔ برهان‌هایی که بر پایهٔ یک واقعیت شناخته‌شده ارائه شده‌اند، بی‌درنگ بر بسیاری از واقعیت‌های جدید قابل اطلاق می‌شوند. نیازی به هیچ تغییری نیست، حتی کلمات را هم تغییر نمی‌دهیم، زیرا در موارد تازه نام‌ها یکسان‌اند.»آیندهٔ ریاضیات، ۱۹۰۸آنچه ریاضیات را قدرتمند و زیبا می‌کند، دقیقاً همین تواناییِ یکپارچه‌سازی ایده‌هایی است که در ابتدا ظاهراً نامرتبط به‌نظر می‌رسند. ریاضیات با انتزاع می‌کوشد تعمیم دهد و یکپارچه سازد، و سیستم‌های پیچیده را به اصول و چارچوب‌های همگانی تقلیل دهد. هدف ریاضیات، شفافیت، سازواری و عمومیت است—یافتن ساختارهای مشترک در پدیده‌های ظاهراً جدا از هم. برای نمونه، ابزارهای ریاضی یکسان می‌توانند حرکت سیاره‌ها، مدارهای الکتریکی و حتی سامانه‌های اقتصادی را با یک فرمول توصیف کنند.در مقابل، شعر حول این ایده می‌چرخد که به یک چیز نام‌های گوناگون بدهد؛ از هر ابزاری که شاعر دارد—از قیاس و استعاره و ایهام گرفته که به صنایع ادبی شناخته می شوند تا در سطحی بالاتر، احساس—بهره می‌برد. در شعر، «باد» یا حتی «بادی که امروز صبح حس کردم» می‌تواند بسیار فراتر از همان پدیدهٔ خاص باشد: همان باد می‌تواند نمایانگر گذر زمان، موی معشوق یا نجوای صبا باشد. ابهام در اینجا کلیدی است و اجازه می‌دهد یک مفهوم گسترش یابد و با ایده‌ها، احساسات و تصویرهای گوناگون پیوند بخورد. برای نمونه در شعر زیر از حافظ:ز گریه مردم چشمم نشسته در خون است ببین که در طلبت حال مردمان چون استمعنی نزدیک مردم و مردمان در این بیت مردمک و مردمکان چشمان گریان و خونبار عاشق در برابر معشوق است، ولی، در معنایی دورتر و عمیق‌تر، با ظرافت و هنرمندی کم‌نظیری، حال و احوال تمامی مردمان عاشقی‌کشیده و خون‌گریسته را بر خاطر و روان خواننده می‌پاشاند. شعر بر خاص بودن و برداشت شخصی تجربه های ما تاکید می کند در حالی که ریاضیات به یکی ساختن تجربه های متفاوت!در حالی که ریاضیات با انتزاع ساده‌سازی می‌کند، شعر از راه «شخصیت‌بخشی» و «گونه‌گونی» پیچیدگی می‌آفریند! شخصیت‌بخشی همان فرایند منشعب‌شدن معنا یا مراجع است، روندی کاملاً در تقابل با انتزاع در ریاضیات! در شعر می‌دانید از کجا شروع می‌کنید، اما هرگز نمی‌دانید به کجا خواهید رسید! در ریاضیات ابتدا نمی‌دانید کجا هستید اما سرانجام می‌دانید به کجا خواهید رسید! در شعر از یقین آغاز می‌کنید و آغوش به روی عدم قطعیت می‌گشایید، اما در ریاضیات، با عدم قطعیت ها و گونه گونی ها دست و پنجه نرم می کنید تا ناگاه همه‌چیز را در یک تصویر می بینید.نتیجه آنکه، شعر ذاتاً تفسیر شخصی را میپذیرد. تجربهٔ هر فرد از یک شعر جوهرهٔ نهایی آن را شکل می‌دهد؛ در حالی که ریاضیات در پیِ درکی جمعی و جهانی است. در شعر، احساسات، شرایط و پیشینهٔ شخصیِ خواننده است که به اثر قدرت می‌بخشد؛ حال آنکه در ریاضیات، زاویهٔ دید فردی تقریباً بی‌اهمیت است. با این حال ضربه ی اولیه ی ریاضیات بر هر کس خاص اوست!در ریاضیات، ناظر می‌کوشد خود را از میان بردارد؛ چراکه هدف، رسیدن به عینیتِ محض است. حقایق ریاضی مستقل از این که چه کسی و در چه زمانی آنها را کشف می‌کند، وجود دارند. در مقابل، در شعر، خود ناظر جایگاهی اساسی دارد؛ صدای شاعر، دیدگاه او و دریچهٔ منحصربه‌فردش، اثر را شکل می‌دهد و آن را ژرفاً فردی و ذهنی می‌سازد.می‌توان دریافتِ ما از واقعیت و جهان را پیوستاری دانست میان ریاضیات و شعر. اگرچه این دو ظاهراً در دو قطب متفاوت قرار دارند، گاه هریک به قلمرو دیگری گام می‌گذارند. ریاضیات با وجود آنکه فراگیر و جمعی است، همچنان بر شهودی فردی—که خود تجربه‌ای ذهنی است و روند اکتشاف و بینش را راه می‌بخشد—تکیه دارد. از سوی دیگر، هرچند شعر اغلب بر فرد تمرکز دارد، درنهایت دربردارندهٔ رگه‌هایی است که همگی ما را به هم پیوند می‌دهد؛ شعر ایده‌های مشترک، اخلاقیات و احساساتی را منتقل می‌کند که گاه حتی خود شاعر را به شگفتی وا‌می‌دارد.ریاضی‌سازی جهان مانند صعود به قلهٔ کوه است: فارغ از این که از کجا آغاز کنید، سرانجام به آن قلهٔ باشکوه خواهید رسید. اما شاعرانه‌کردن جهان مانند پایین آمدن از تپه است: از همان نقطه‌ای شروع می‌کنید که دیگران شروع کرده‌اند، اما در نهایت خودتان را در بی‌شمار جای منحصربه‌فرد می‌یابید.اگرچه صعود به قله‌ای همگانی منتهی می‌شود، با این حال مسیرتان در طول راه کاملاً خاص شماست—شکل‌گرفته از شهوداتی که صرفاً متعلق به خودتان است. از سوی دیگر، پایین آمدن از تپه هرچند به فرودی ویژه می‌رود، اما غالباً با مسیرهایی تلاقی می‌کند که پیش‌تر شناخته شده‌اند—همان راه‌های اصلی در ایده‌های مشترک، ارزش‌ها و باورهای اخلاقی.این دادوستد میان ریاضیات و شعر—میان جستجوی نامتعارف برای نظمی جهان‌شمول و توجه به تجربهٔ خاص انسانی—به «واژگان» جادویی یگانه و قدرتی شگفت می‌بخشد. هر دو فعالیت بنیاداً انسانی‌اند: آنها، هم جنبهٔ جمعی و فراگیر ما را بازمی‌تابانند و هم بُعد یگانه و گوهری هر کداممان را پاس می‌دارند.rohola zandierohola zandieMon, 30 Dec 2024 00:14:39 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/نیوتون-آخرین-جادوگر-و-اولین-دانشمند-nqvtwlmt2dsnامروزه بسیار عادی است که فرض کنیم علم به ما امکاناتی میدهد که می توان با آن نه تنها جهان را درک کرد بلکه بر اساس آن ابزار هایی ساخت که بتوان محیط را کنترل کرد شکل داد! اما این توانایی دستاوردی بسیار نوین است! در بیشتر تاریخ بشریت، انسان «ارباب طبیعت» نبود، بلکه قربانی آن به شمار می‌رفت. اتفاقات دنیای اطراف او یا نتیجه ی تصادفات یا مشیت الهی بودند! و انسان چاره ای جز پذیرش آن نداشت. امروزه قدرت ما در شکل دهی و پیش بینی محیط به حدی رسیده است که می توانیم طوفان ها را پیش بینی کنیم با عوامل بیماری که با چشم قابل دیدن نیستند وارد مبارزه هایی بسیار پیچیده شویم و حتی با فشار چند دکمه تمام حیات روی کره ی زمین را از بین ببریم!پیشرفت های علمی بر خلاف باور عامه همیشه به صورت انباشتی اتفاق نمی افتد. آنچه رخ می دهد اما جهش های بسیار عظیمی است که نه تنها تمام جهان بینی ما بلکه شیوه های فکر کردن روزمره ی ما را هم تغییر می دهد! انقلاب علمی ای که با نیوتون آغاز شد نقطه ی شروع چنین تغییراتی بود. اهمیت کار نیوتون در این بود که برای نخستین بار بشریت به نظریه‌ای دست یافت که به‌راستی «کار می‌کرد». ممکن است صدای اعتراض برخیزد که پیش از نیوتون نیز دانشمندانی بودند که نظریات درستی درباره جهان ارائه کرده‌اند. اما باید توجه داشت که این نظریات غالباً پراکنده، ناپیوسته، و در بهترین حالت، محدود به موارد خاصی بودند—برای مثال، ساخت ساعت‌های دقیق، تنظیم تقویم‌ها، یا روش‌های تجربی ذوب فلزات.آنچه نیوتون به ارمغان آورد، نه صرفاً یک نظریه، بلکه شیوه‌ای نوین از اندیشیدن بود که توانست علمی یکپارچه و جهان‌شمول ارائه دهد؛ شیوه‌ای که پایه و اساس انقلاب علمی مدرن شد و برای همیشه مسیر علم و تفکر بشری را تغییر داد.نیوتون برای اولین بار دستگاهی را معرفی کرد که جامع و جهانی بود! این دستگاه نه تنها از ریاضیات دقیقی پیروی می کرد بلکه فرضیات کم و عمومیت بی انتهایی داشت. بی اغراق نیست که کشف نیوتون مانند زلزله ای نه تنها علم بلکه فلسفه و حتی سیاست را در اروپا تغییر داد. تغییراتی که چهره ی جهان ما را برای همیشه تغییر داد. در این باب الکساندر پوپ می نویسد: "طبیعت و قوانین طبیعت در تاریکی پنهان بودند: خدا گفت، نیوتن باشد! و همه‌جا روشن شد. Nature and Nature's laws lay hid in night: God said, Let Newton be! and all was light.پیش از نیوتون مرز های دقیقی بین علم و فلسفه و حتی علوم خفیه (occult)، چیزی که امروزه به اسم شبه علم می شناسیم وجود نداشت. تصور بسیاری این است که نیوتون روش علمی را به تاسی از گالیله پیش گرفت با این حال مرور زندگی نیوتون چیز دیگری را نشان می دهد. نیوتون برخلاف تقریبا تمام هم عصرانش به علوم خفیه باور داشت! موضوعی که بابت آن همیشه مورد سرزنش و تمسخر قرار می گرفت. با این حال او سالهای زیادی از عمر خود را بر روی موضوعاتی گذارند که باور آن برای بسیاری دشوار است. بسیاری تصور می کنند که کارهای علمی نیوتون را باید از کارهای غیر علمی اش جدا کرد. اما چنین فرضی خیلی هم صحیح نیست!نیوتون زمان زیادی از عمر خود را صرف کیمیاگری و الهیات کرد. نیوتون باور داشت که درک جهان نیازمند درک قوانین الهی و بازخوانی دقیق انجیل است! برخلاف پیشینیانش نیوتون اعتقاد داشت که تمام جهان از مجموعه ی قوانین یکسانی پیروی می کند. امروزه چنین چیزی برای ما پیش فرض است اما پیش از او اعتقاد بر این بود که مکانیک سماوی (حرکت ستارگان و سیاره ها) از مکانیک زمینی متفاوت است! نظریه ی گرانش نیوتون این دو مکانیک را برای اولین بار متحد کرد. این تغییر ریشه در دیدگاه نیوتون داشت که جهان را همچون ساعتی می دید که توسط خدا (ساعت ساز) ساخته شده و به همین خاطر همه جای آن باید یکسان و باشکوه باشد.اما جدای از دیدگاه های کلی که هر دانشمندی می تواند داشته باشد نیوتون در نظریه گرانش خود عنصری را وارد کرد که بسیار عجیب بود. او فرض گرفت که اجرام می توانند بدون تماس با همدیگر بر هم نیرو وارد کنند چیزی که به «عمل در فاصله» (action at distance) شناخته می شود. این فرض با دیدگاه های مکانیکی زمان که اثر نیرو را فقط در نتیجه ی یک مدیوم ممکن می دانست در تضاد بود. لایبنیتز در نامه ای به ساموئل کلارک در سال ۱۷۱۵ به شدت به نیوتون حمله کرده و او را متهم به وارد کردن «عملگر های خیالی» (imaginary operations) و «نیروهای خفیه» (occult forces) به فیزیک میکند. پاسخ نیوتون به اعتراضات معمولا با نادیده گرفتن و توضیحات حتی پیچیده تر همراه بود.کار نیوتن مرز میان علم توصیفی و تبیینی را محو کرد. به عنوان مثال، او در کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» (Principia) معروفاً نوشت: «Hypotheses non fingo» (به لاتین به معنی «فرضیه نمی‌بافم») تا نشان دهد که تمایلی به حدس زدن دربارهٔ مکانیزم گرانش ندارد. در حالی که این عبارت اغلب به‌عنوان رد کردن گمانه‌زنی تفسیر می‌شود، همچنین بر این باور او تأکید می‌کرد که علم باید بر توضیح نحوهٔ کارکرد چیزها (از طریق ریاضیات و مشاهده) متمرکز باشد، نه چرایی آن‌ها (از طریق توضیحات متافیزیکی). به این ترتیب دانشمند ناچار است عناصر توضیح ناپذیر همچون جادو را به نظریات خود اضافه کند!کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» نیوتن یک چارچوب ریاضی دقیق برای توصیف پدیده‌های طبیعی معرفی کرد. در حالی که این موضوع امروز بسیار مورد ستایش قرار می‌گیرد، در زمان خود بحث‌برانگیز بود، زیرا بسیاری از دانشمندان توضیحات کیفی یا مکانیکی را ترجیح می‌دادند. استفاده از ریاضیات انتزاعی برای توصیف حرکت، نیروها و گرانش برای برخی از هم‌عصران او بیش از حد انتزاعی و جدا از واقعیت فیزیکی به نظر می‌رسید. به عنوان مثال، فیزیک‌دانان دکارتی، بر مدل‌های مکانیکی تأکید داشتند که شامل تماس مستقیم ذرات بود. اتکای نیوتن به ریاضیات برای توصیف نیروهای «نامرئی» مانند گرانش، از دید آن‌ها شبیه نوعی عرفان پنهان بود. برای آنها کارهای نیوتون بیشتر شبیه به کار جادوگرانی است که چیزهایی بر روی کاغذ می نویسند و انتظار دارند که مسیر وقایع را تغییر دهند!گذر زمان نشان داد که نیوتون تنها جادوگری بود که جادویش حقیقتا کار میکرد! روش بسیار انتزاعی ریاضی او ثابت کرد که می توان خطوطی در هم و برهم بر روی کاغذ کشید (ریاضیات!) که نه تنها طبیعت را توصیف که آن را پیش بینی هم می کند! گاه نیوتون را آخرین جادوگر و اولین دانشمند خطاب می کنند. روش عجیب نیوتون در انجام علم نشان داد که علم چیزی بیش از مجموعه ای حقایق و مشاهدات و در عمل «پرش های» گاه جسورانه ای در قلمرو فرضیات است که در نگاه نخست «غیر علمی»، «عجیب» و «جادویی» بنظر می آیند. امروزه ما به‌سادگی می‌پذیریم که بخش‌هایی از هر نظریه علمی، فراتر از توضیح فعلی هستند. اما این نه نقصی در علم، بلکه نویدی از آینده است، چرا که سرنوشت آن بخش‌های نامکشوف به دستان زمان و پیشرفت سپرده شده است.روش نیوتون شالوده علم مدرن است؛ علمی که شاید در ظاهر دشمن جادو باشد، اما ریشه‌هایش با افسون و جادو درهم‌تنیده است، و تشخیص مرز میان آن دو، گاه دشوار و پیچیده. هیچ دانشمندی تنها به مشاهده و گردآوری حقایق جهان بسنده نمی‌کند؛ علم، همچون جادو، تلاشی است بی‌پایان برای کشف افسون جهان و غرقه شدن در شگفتی‌های آن.هر راز که گشوده شود، صدها راز دیگر بر سر راه انسان پدیدار می‌گردد و این هزارتوی شگرف و بی‌انتها، دانشمند را مجذوب خویش می‌سازد. آنچه دانشمند را با شور و شیدایی به سوی اسرار جهان می‌کشاند، نه پاسخ‌ها، بلکه پرسش‌هایی است که همچون چراغی در تاریکی، مسیر او را روشن می‌کنند. علم، سفری است از حیرت به سوی حیرت، و این جذابیت بی‌پایان است که روح انسان را در خود غرق می‌کند.rohola zandierohola zandieWed, 04 Dec 2024 20:00:20 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/آیا-به-ناظم-نیاز-داریم-قسمت-۲-qcn68hhqdaciقبل از هر چیز باید به این موضوع توجه کرد که «حیات» یا فرآیند های زنده در یک فضای فاز مشخص قرار نگرفته اند بلکه همواره در حال جستجو و محک مرز های خودشان هستند. به طور مثال اگر یک سلول زنده در بدنتان را در نظر بگیرید تنها وظیفه ی چنین سیستمی بقا از طریق مصرف انرژی نیست بلکه فراتر از آن جستجوی پارامتر های جدید در فضای فاز است. به همین دلیل سلول های شما به صورت مداوم مسیر های متفاوتی را امتحان می کنند و در حال یافتن مسیر های جدید برای انجام کارهای پیشین یا مسیر های بکلی جدید برای انجام کارهای جدید هستند. در زیست شناسی گاهی چنین فرآیند بسیار پیچیده و چند لایه ای را در قالب جهش random mutation شناخته می شود. با این حال چنین فرآیندی یک فرآیند تصادفی قاعده مند است و نه صرفا امتحان کردن همه ی حالات. صد البته گاهی چنین مسیر هایی به بن بست های بدی ختم می شوند که مشخص ترین مثال آن سلول های سرطانی است. بدن شما هر روز سلول های سرطانی ایجاد می کند و این بخشی از فرآیند جستجو (exploration) چنین سیستمی است.نکته ی بعدی این است که جستجو فقط در سطح ژنتیک انجام نمی شود بلکه «حیات» از اساس سیستمی است که در مقیاس های مختلف کار می کند (scale free). بنابراین جستجو نه تنها در سطح ژن بلکه در سطح سلول و ارگان و حتی موجود زنده و زیست بوم رخ می دهد. در هر لایه سیستم توانایی تصمیم گیری بر اساس ورودی هایی که به آن وارد می شود را دارد.فرض کنید بر روی مدل آیزینگ یک آهن ربا را به صورت تصادفی انتخاب و آن را برعکس میکنیم (اگر بالا باشد به پایین و اگر پایین باشد به بالا تغییر میدهیم) در این صورت خانه های اطراف آن ممکن است تحت تاثیر قرار بگیرند و مقدار آن ها هم به تبع چنین تغییری برعکس شود. اما احتمال این تغییر رابطه ی معکوسی با دما دارد. هر چه دما بالا تر باشد احتمال چنین تغییری بیشتر است اما اگر دما از حدی بیشتر شود اثرات گرمایی آنقدر شدید می شود که حرکت آهنربا ها تقریبا بدون هیچ ارتباطی به هم به صورت تصادفی تغییر می کند. اگر دما بسیار کم باشد احتمال تغییر باز هم پایین است چون در دمای پایین تمایل آهن ربا ها برای تغییر هم کمتر است. در دمای بحرانی اما اتفاق جالبی می افتد. در این دما با تغییر یک آهن ربا یک فرآیند گلوله برفی (snowballing effect) رخ می دهد به این معنا که اکثر تغییرات محلی است اما گاهی یک تغییر مانند یک دومینو به نقاط بسیار دوردست تری می رسد. به این ترتیب همبستگی زیادی بین نقاط به وجود می آید. طول همبستگی (correlation length) متری است که با آن متوجه می شویم سیستم تا چه اندازه به هم متصل است. اگر شما به دمای بحرانی از پایین یا بالا نزدیک تر شود این طول بزرگتر و بزرگتر می شود و در خود دمای بحرانی طول همبستگی به اندازه ی کل سیستم است! به این ترتیب سیستم به یک واحد تبدیل می شود که رابطه های درونی با طول های مختلف دارد ولی می توان مطمئن شد که هر جای سیستم می تواند با هر جای دیگر آن اطلاعات رد و بدل کند.با اینکه مدل آیزینگ بسیار ساده است نمونه ی بسیار جالبی از ساخته شدن یک کل از اجزا را در طبیعت نشان می دهد. ویژگی های عجیب تر این مدل این است که در نقطه ی بحرانی دقیقا شبیه به یک فراکتال می شود یعنی اگر شما در آن به عقب یا جلو زوم کنید یک ساختار را می بینید! در این ویدیو می توانید این موضوع را ببینید. به چنین خاصیتی به اصطلاح «عدم تغییر مقیاس» (scale invariance) گفته می شود.فراکتال ها در طبیعت به وفور یافته می شوند اما برخلاف انتظار شما بسیاری از فراکتال ها منظم نیستند. یک مثال آن هم خود مدل آیزینگ است. چنین فراکتال هایی ساختارهای پیچیده و نامنظمی را نشان می دهند.عدم تغییر نسبت مقیاس یکی از ویژگی های تقریبا جهانی در زیست شناسی است. بسیار از دینامیک ها و ویژگی ها در زیست شناسی در مقیاس های مختلف تکرار می شوند. به طور مثال دینامیک شکارچی شکار (predator prey) از سطح ژنتیک تا سطح بوم شناسی و حیوانات دیده می شود. چنین الگوهایی تنها یک تصادف نیست. و الگوی شکارچی و شکار تنها یک نمونه ی بسیار نادر نیست. از قضا چنین الگوهایی بسیار زیاد و در همه ی سطح ها دیده می شوند. دینامیک شکارچی و شکار شامل یک شکارچی مانند روباه و یک شکار مانند خرگوش هست. در این مدل اگر تعداد روباه ها بسیار زیاد شود خرگوش ها از بین می روند از طرفی اگر تعداد روباه ها کم باشد خرگوش ها آنقدر زیاد می شوند که گرسنه میشوند و میمیرند. به عبارتی این دو گونه جمعیت همدیگر را کنترل میکند. چنین دینامیکی با یک معادله دیفرانسیل جفت قابل توضیح دادن است که به اسم معادله لوتکا-ولتررا شناخته می شود. این معادله بین باکتری ها و باکتریوفیج ها (Bacteriophages) بین حشرات و عنکبوت ها و غیره برقرار است.مدل شکارچی شکارنکته ی مهم این است که چنین دینامیک هایی از اساس مستقل از مقیاس هستند. به این معنا که اگر شما بر روی بخشی از این سیستم ها زوم کنید باز هم روابط بسیار مشابهی را می بینید. به این ترتیب برای درک چنین دینامیکی بر خلاف آنچه در فیزیک معمول است باید آن را در یک کل درک کرد. توجه کنید که در این جا منظور از زوم کردن هم از لحاظ فضایی (از سطح ژن و سلول تا زیست بوم و کل زیست کره biosphere) و هم زمانی (از چند میکروثانیه تا چند میلیون سال) است. حالا وقت آن است که به گل پرنده سبز برگردیم. اگر شما به چنین پدیده ی طبیعی ای به صورت یک فرآیند حاصل یک مهندسی یا ناظم بنگرید تفاوتی بین چنین چیزی و یک معجزه ی به تمام معنا نمیبینید! چنین فرآیندی نمی تواند حاصل تصادف باشد! اما وقتی به دینامیک رشد این گل در مقیاس های مختلف از ژنتیک تا ارتباط گل با شکارچی اش و زمان بین عمر یک گل تا چند صد هزار سال که تغییرات کوچک در آن کنار هم جمع می شود بنگرید متوجه می شوید که چنین شکلی نه تنها عجیب نیست بلکه بسیار هم منطقی و نتیجه ی یک فرآیند فیزیک است.در انتها باید اضافه کنم که چنین توضیحی به هیچ وجه از راز آمیزی و معجزه بودن این فرآیند نمی کاهد بلکه بیشتر بر آن می افزاید. تصور اینکه چنین گلی نتیجه ی بوجود آمدن دفعی یک خلق توسط یک هوش فراتر است تمام زیبایی جزییات ریاضی دینامیکی آن، نحوه ی فرگشت آن و مسیر آینده آن را به کلی خنثی و آن را به طرز کودکانه ای مشابه با ساخت های بشر مانند ماشین، ساختمان یا یک ساعت می کند. طبیعت از طرفی پر است از خلاقیت های پویا و یک رقص نا تمام بین اجزایش در تمام مقیاس ها. از سطح ژنتیک و پروتئین ها گرفته تا کره ای که حتی از فضا هم سبز بودنش خیره کننده است.rohola zandierohola zandieThu, 22 Aug 2024 22:41:17 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/آیا-به-ناظم-نیاز-داریم-قسمت-۱-eohljozczb2q«گل پرنده سبز» (green flowerbird) گیاهی ست که در قسمت های غربی استرالیا می روید و شکل عجیب و غریبی دارد. وقتی به آن نگاه میکنید شبیه به یک پرنده است. زیست شناسانی که بر روی این گل تحقیق کرده اند متوجه شده اند که گیاه از چنین ترفندی استفاده می کند تا خود را شبیه به پرنده کرده و به این ترتیب مانع جمع شدن حشرات موذی به خود شود! این وفق یافتن طبیعی می تواند براحتی دست مایه ی تصوراتی در مورد این موضوع شود که چنین کاری بدون «خلق» و «طراحی» امکان پذیر نیست. قطعا چنین سطحی از پیچیدگی نتیجه ی قوانین تصادفی و کور نیست. اولین سوالی که به ذهن خطور می کند این است که گیاه حتی از کجا می داند که یک پرنده چه شکلی است که خود را شبیه به آن کند؟ تنها حالتی که می توان آن را توضیح داد این است که گیاه طبق یک «طراحی» از پیش مشخص شده رشد کرده و به شکل کنونی خود رسیده باشد.«گل پرنده» البته تنها مورد در طبیعت نیست که چشم ناظر انسانی را به خود خیره و ما را در عمق پیچیدگی خود مقهور می کند. طبیعت برای چشم های تیزبین یک دانشمند پر است از چنین ظرافت هایی! از طرفی توضیح مساله به عنوان یک «طراحی» از پیش تعیین شده بیشتر از آنکه یک توضیح باشد یک میانبر ذهنی، تنبلی تفکر و وارد کردن عناصر غیر قابل توضیح بیشتر است. اما فراتر از آن چنین تصوری پیچیدگی و خلاقیت بی نظیر طبیعت در موقعیت های مختلف را با شباهت دادن آن به فرآیند خلق انسانی مبتذل و سطحی می کند. حالا سوال این است که چطور می توان چنین چیزی را فهم کرد؟به صورت سنتی می دانیم که «فرگشت» (evolution) توضیح چنین پدیده ای است. با این حال «فرگشت» را نمی توان به عنوان مکانیزمی ساده ناشی از «تصادف» و «انتخاب طبیعی» نگاه کرد. باید به چند نکته ی اساسی قبل از ساده انگاری نسبت به «فرگشت» توجه کرد. برخلاف تصور غالب، طبیعت به هیچ وجه از ایجاد کردن نظم فراری نیست «نظم» و «پیچیدگی» قاعده ی جهان است همچنان که تصادف و قوانین ساده هم قواعد دیگر دنیا هستند. تمام این ها در دو سر طیف پدیده های طبیعی اند. این تغییر دیدگاه اساسی کمک می کند که درک کنیم برخلاف قوانین ساده ی فیزیک که موقعیت های ساده مانند حرکت یک توپ یا شکستن پرتو نور را بررسی می کنند و قوانین آماری فیزیک مانند ترمودینامیک که موقعیت های کاملا «بی نظم» و «تصادفی» مانند یک گاز یا پلاسما را بررسی می کنند دسته ی سومی از قوانین وجود دارد که نشان می دهند که «نظم» در شکل پیچیدگی بخشی از طبیعت است و این «نظم» نیاز به ناظمی ندارد بلکه در دل خود فرآیند های طبیعی به وجود می آید.مهمترین این مثالِ پیچیدگی «حیات»، به عنوان حالت جدید ماده است. دقت کنید اینجا از استعاره ی حالت جدید ماده صحبت نمی کنیم بلکه به معنای دقیق ریاضی و فیزیک به «حیات» باید به عنوان حالت جدید از ماده نگاه کرد. در مدرسه می آموزیم که حالات ماده «مایع»، «گاز» و «جامد» است، در دانشگاه متوجه می شویم که حالت های دیگری هم از ماده مانند «پلاسما» و «ابررسانا» هم وجود دارند. ویژگی مشترک تمام این حالت های ماده این است که از مکانیک بسیار ساده ای مبتنی بر میانگین ها استفاده می کنند. دانستن میانگین سرعت یک مولکول هوا کافی است تا دمای آن فشار و بقیه خواص آن را متوجه شد. به عبارتی میانگین ها در این سیستم های ذره تمام اطلاعات آن سیستم را با خود دارند. اما فیزیکدان ها متوجه شدند که این حالت همیشه صادق نیست و حالت های خاصی از ماده وجود دارد که قابل توصیف با میانگین ها نیست. چنین حالاتی به اصطلاح «بحرانی» (critical) نام دارند. چنین حالاتی داری ویژگی منحصر بفردی هستند. در این حالات جدید ماده، ذرات قسمت های مختلف ماده نسبت به هم همبستگی (correlation) دارند. یعنی ویژگی های یک ذره در سیستم به ذرات دور تر وابسته است! یا به عبارتی بخش های مختلف سیستم همدیگر را «حس» می کنند. مهمترین نتیجه ی چنین حالتی این است که اطلاعات بسیار بهینه تر در چنین حالتی از ماده پخش می شود.دانشمندان در چند دهه ی اخیر مثال های زیادی از چنین حالات «بحرانی» در طبیعت پیدا کرده اند. یکی از مثال های جالب چنین حالتی مدلی معروف به Ising model است. در این مدل بسیار ساده هر ذره یک آهن رباست که دو حالت دارد «بالا» یا «پایین». وقتی تمام این ذرات یک سمت را نشانه میگیرند آهن ربای قوی ای خواهید داشت ولی وقتی ذرات به صورت تصادفی بالا یا پایین باشند اثر هم را خنثی کرده و خاصیت آهن ربایی از دست می رود. خودتان می توانید یک آهن ربا بردارید و داغ کنید اگر دما از حد مشخصی فراتر برود خاصیت آهن ربایی به طور کامل از دست می رود چون هر ذره به صورت تصادفی یک جهت می گیرد.مدل آیزینگ مجموعه ای از آهنرباهای کوچک استدما در این جا نقش کلیدی ای بازی میکند. وقتی دما پایین است ذرات جنبشی ندارند و همه در یک جهت قرار می گیرند. اما وقتی دما بالا میرود اثر جنبشی ناشی از گرما آنقدر زیاد می شود که ذرات نمی توانند به همسایگان خود اثر بگذارند و آن ها را با خود هم جهت کنند. تا این جای کار چیز عجیبی وجود ندارد اما به جای آنکه دما را سریع بالا ببریم سعی کنیم به آرامی این کار را بکنیم. نتیجه ی این کار این است که در یک دمای بحرانی ذرات شروع به ایجاد ساختار های منظمی می کنند. چنین ساختارهایی خوشه هایی هستند که نتیجه ی ارتباطات محلی هستند اما این ارتباطات محلی می توانند اثرات کلی روی سیستم بگذارند به این ترتیب سیستم قادر به نشان دادن الگوهای بزرگ تری می کند که به ظاهر ناشی از یک پیچیدگی هماهنگ شده است اما در واقع چنین حالتی نتیجه ی ریاضی ارتباطات است. مدل آیزینگ بسیار مطالعه شده و یکی از مثال های عالی برای درک این است که چگونه سیستم های ساده در نقاط «بحرانی» (به طور مثال دمای بحرانی) می توانند الگوسازی کنند.مدل ایزینگ وقتی دما را به تدریج به دمای بحرانی میرسانیمدر قسمت بعدی به جزییات بیشتر «بحرانی بودن» و اینکه چگونه چنین پدیده ای مسئول بیشتر پیچیدگی هایی که اطرافتان میبینید می پردازیم. آنگاه به گل پرنده هم میرسیم!rohola zandierohola zandieWed, 10 Jan 2024 02:31:00 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/مشتق-کسری-قسمت-دوم-usdwm0krhlflاول بیایید تعریف عادی مشتق را ببینیم. مشتق به صورت زیر تعریف می شود:اگر دقت کنید در این تعریف تنها به مقادیر تابع در همسایگی آن توجه می کنیم. یعنی شیب خط یک ویژگی محلی (local) است. سه تعریف بالا در حالت حدی یک مقدار دارند. مهم نیست یک قدم قبل یا بعد یا حتی جفتشان را بررسی می کنیم. خیلی از ویژگی هایی که در فیزیک وجود دارند خاصیت محلی دارند مانند دما، فشار و مکان. به طور مثال دمای یک نقطه به آرامی و از یک نقطه همسایه به بعدی تغییر می کند. سرعت مشتق اول مکان نسبت به زمان است. یعنی میزان سرعت در هر نقطه ای ناشی از تفاوت مکان در الان (t) و یک زمان بسیار کوچک قبل تر (t-dt) است. یا به عبارتی:البته چنین چیزی برای ما آنقدر آشناست که حتی به این فکر نمیکنیم چرا شتاب یک ویژگی محلی است. اما چنین چیزی در حالت کلی صادق نیست. پدیده هایی در فیزیک وجود دارند که میتوانند به زمان های بسیار قبل تر هم وابسته باشند. برای اینکه چنین چیزی را ببینیم بیایید اول تعریف مشتق را کمی تغییر دهیم. این فرمول کمی ترسناک بنظر می رسد و انگار تعریف را بسیار سخت کرده است. اما اگر دقت کنید این دقیقا همان حرف را می زند. این فرمول در واقع کانولوشن بین تابع دلتای دیراک و خود تابع سرعت است! به خاطر ویژگی خاص تابع دلتای دیراک چنین چیزی خود تابع را بر می گرداند:انتگرال تابع دلتای دیراک در هر نقطه t مقدار تابع در همان نقطه f(t) را بر میگرداند انگار این تابع انتگرال را خنثی می کند. اما هدف کانولوشن صاف تر کردن تابع با استفاده از یک تابع دیگر است. دلتا آنقدر تیز است که عملا تابع اولیه را به همان حالت اول بر می گرداند. اما اگر به جای این تابع چیزی انتخاب کنیم که کمی کمتر تیز باشد چه؟ مثلا تابع هایی را به شکل زیر در نظر بگیریم که به تدریج صاف تر و صاف تر می شوند.چنین توابعی به ما اطلاعات بیشتری از همسایگی می دهند. به عبارتی آن ها غیر محلی تر (non local) هستند. مثلا می توانیم یک خانواده از توزیع های w(a,t) را در نظر بگیریم که در حد همان تابع دلتای دیراک می شوند. در این صورت مشتق غیر محلی به صورت زیر می توان تعریف کرد:که در آن N صرفا برای نرمال کردن است یعنی:چنین تعریفی از مشتق به مشتق های کسری منجر می شود (در اینجا وارد این موضوع نمی شویم).اما چرا باید چنین انتخاب عجیبی از w داشته باشیم که به مشتق های غیر محلی منجر شود. اولین پاسخ این است که چرا نه؟ چه چیزی باعث می شود که انتخاب عجیب «فقط» همسایه محلی را داشته باشیم. اما از جنبه ی عملی برخی از پدیده ها وجود دارند که از قوانین ساده ی قبلی پیروی نمی کنند یکی از مثال های آن anomalous diffusion است. پدیده انتشار ویژگی بسیار جالبی است که همه ی ما دیده ایم. مثلا وقتی گاز شهری در اتاق منتشر می شود. یا زمانی که یک قطره جوهر را در آب میریزیمچنین انتشار هایی به صورت کلاسیک در فیزیک بررسی شده اند و مشخص شده است که انتشار یک ویژگی درجه ی اول است. چنین چیزی برای انتشار دما هم صدق می کند. تابع انتشار به صورت زیر می توان تعریف کرد:سرعت زمانی تغییر در تابع در این معادله معادل با میزان چین خوردگی فضایی (یا چگالی) آن است. یک ویژگی این معادله این است که در زمان خطی است. یعنی دقیقا مانند معادله ی اول میزان پخش و چگالی آن در هر لحظه فقط به لحظه ی قبل تر آن بستگی دارد. به چنین ویژگی ای یک زنجیره ی مارکوف هم می گوییم. با این حال این معادله زمانی درست است که ظرف بی نهایت بزرگ و بدون دیوار باشد. زمانی که ذرات به دیواره برخورد می کنند و منعکس می شوند دیگر نمی توان وضعیت سیستم در زمان t را نتیجه ی زمان t-dt دانست. بلکه سیستم به زمان های بسیار قبل تر هم وابسته می شودو برای اینکه این موقعیت را درک کنید به این مثال توجه کنید: فرض کنید یک منبع داشته باشیم که به تمام سمت ها توپ پرتاب می کند. چنین سیستمی حالت ساده ای است که وضعیت آن در هر لحظه ناشی از لحظه ی قبل آن است. اما اگر برای این سیستم یک دیوار قرار دهیم اگر توپی به دیوار پرتاب شد و بازگشت به توپ های دیگر برخورد می کند و آن ها تحت تاثیر می گذارد. پس سیستم به تمام زمان های قبل وابسته است.معمولا حتی با برخورد لزوما سیستم تغییر جدی ای در رفتارش ندارد اما میزان این برخورد ها مهم است. اگر میزان آن ها از حدی بیشتر باشد سیستم از حالت «انتشار» به حالت «زیرانتشار» subdiffusion تغییر وضعیت می دهد. در این حالت با اینکه ذرات از هم دور می شوند اما نه آنقدر که نتوانند کنار هم جمع شوند و گروه ها و خوشه هایی بسازند. چنین چیزی مقدمه ای برای ایجاد ساختار پیچیده تر است. در واقع مشخص شده است که در مورد موجودات زنده بیشتر پخش ها از حرکت پروتئین ها در سلول تا موجودات در یک اکوسیستم یا جمعیت های زنده از «زیرانتشار» پیروی می کنند. چنین پدیده ای بسیار عجیب است چون در چنین حالتی ماده وارد فاز جدید می شود که فضای لازم برای ساختار پیچیده را ایجاد می کند. به چنین حالتی Active Matter یا «ماده ی فعال» گفته می شود.چنین مباحثی هنوز در مرحله ی تحقیقات هستند اما افق های جالبی برای فهیدن حیات و ساختار پیچیده را فراهم می کنند. مشتق های کسری ابزارهای جالب جدیدی برای توصیف دینامیک حیات را در اختیارمان می گذارد. rohola zandierohola zandieFri, 08 Sep 2023 06:14:58 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/عصر-chatgpt-w59hwvqbhdehدر حالی به عصر هوش مصنوعی صنعتی وارد می شویم و این تکنولوژی به زندگی عموم مردم وارد می شود، به ابزارهای شناختی ای دسترسی پیدا میکنیم که پیش از این قابل تصور نبود. این ابزارها مستقیما به ما در «فکر کردن» و فعالیت های شناختی کمک می کنند این کمک چیزی فراتر از ذخیره، بازیابی، جستجو و دسته بندی اطلاعات است. با این حال وقتی در مورد «هوش» این سیستم ها صحبت می کنیم باید با احتیاط بیشتری در مورد آن صحبت کنیم تا سو تعبیر های معمولی که در مورد «آگاه بودن»، «حیات داشتن» و «زنده بودن» وجود دارد، پیش نیاید.پیش زمینهدر دهه ۱۹۶۰ بسیاری از زبان شناسان به تفاوت و تمایز بین «معنا» (semantics) و «نحو» (syntax) پی برده بودند. نوآم چامسکی به طور مشخص مثال های معروفی از جملاتی از زبان می آورد که دارای نحو صحیح هستند ولی هیچ معنایی ندارند مثل: «ایده های بی رنگ سبز به صورت خشمناکی میخوابند» نحو آنقدر بنیادی به نظر می رسید که می شد آن را به طور کامل جدا از معنا و ویژگی های دیگر زبان تعریف کرد. این تمایز به حدی خود را نمایان می کرد که چامسکی ایده ی «گرامر جهانی» (Universal Grammar) را معرفی کرد و اینکه حتی ممکن است انسان ها با ویژگی های زیست شناختی یا ژنتیکی خاصی به دنیا بیایند که این گرامر جهانی را به صورت پیشینی را با خود دارند. با این حال استفاده ی روزمره ی زبان نشان می دهد ما همیشه گرامر را رعایت نمیکنیم اگر چنین موارد جزیی را کنار بگذاریم، گرامر خود را چون استخوان زبان نشان میدهد که معنی تنها لباسی است که بر روی آن قرار می گیرید. اگر جدال های مربوط به گرامر جهانی و فقر محرک ها (Poverty of stimuli) را کنار بگذاریم چیزی که می دانیم این است که با داشتن گرامر می توان جملات مختلف را تولید کرد. به همین خاطر به آن گرامر تولید کننده (generative grammar ) هم می گویند. به طور مثال اگر شما درخت گرامری خاصی مثل یک جمله ی پرسشی را داشته باشید فقط کافی است که اسم را با یک اسم فعل را با یک فعل و صفت را با صفت از دیکشنری جایگزین کنید تا یک جمله ی درست تولید کنید. مشکل اساسی اما اینجاست که این جملات نه لزوما راست هستند و نه حتی معنی دار! مساله ی معنی بسیار دشوار تر از چیزی بود که ابتدا نشان می داد و نیاز به نگاهی فراتر از روش های صوری داشت. به همین خاطر توجه به بازنمایی دانش (knowledge representation) بیشتر شد. همزمان با رشد تکنولوژی های دیجیتال و ظهور اینترنت پروژه های مختلفی ظهور پیدا کردند که هدف اصلی شان بازنمایی نه تنها دانش به معنای معمول آن یعنی دانش factual بلکه هر نوع اطلاعاتی از جهان و مهم تر از همه دانش متعارفی (common sense) می شد.دانش متعارفی به نوعی از اطلاع نسبت به جهان خارج گفته می شود که معمولا به صورت صریح جایی نوشته نشده است اما انسان ها همگی در اثر تعامل با جهان خارج آن را می آموزند. مثلا: اگر یک لیوان آب بیفتد آب درونش میریزد. مردم نیاز به نفس کشیدن دارند تا زنده بمانند. خاموش کردن چراغ های توی اتاق باعث تاریک شدن آن می شود. نوع اول دانش را می توان در پروژه های به نسبت موفق تری مانند wikipedia, dbpedia و مهم تر از همه گراف دانش گوگل (google knowledge graph) دید اما برای دانش متعارفی این تلاش ها به همان اندازه موفق نبود به طور خاص پروژ هایی چون Cyc و YAGO که به منظور بازنمایی دانش متعارفی اغاز شده بودند با صرف هزینه ها و زمان زیاد با شکست موجه شدند. بنظر می رسید چنین دانشی آنقدر وسیع و تجربه ی روزمره ی افراد آن قدر گسترده است و از طرفی این تجربه آنقدر حالت های استثنا دارد که چون دریایی بی انتها می ماند و هر گونه تلاشی برای نوشتن آن بی فایده است!چالش دیگر استدلال متعارفی (common sense reasoning) است. استدلال متعارفی به توانایی انسان برای پر کردن جاهای خالی در برخورد با مسایل روزانه گفته می شود. برای این کار ما مجهز به دانش متعارفی در مورد جهان هستیم. توجه کنید این استدلال در بسیاری از مواقع با منطق ریاضی یا فلسفی تفاوت های زیادی دارد. به طور مثال روانشناسی عامیانه (Folk psycology) به عنوان یک نوع از استدلال متعارفی به توانایی ما در تشخیص احساسات و نیت های افراد برای انجام کارها و رفتارهای مشخص گفته می شود. از طریق روانشناسی عامیانه است که ما می توانیم دیگر انسان ها درک کنیم و به طور کلی روابطمان با بقیه را تنظیم کنیم. روانشناسی عامیانه می تواند خود را در نظریه ذهن (theory of mind) نشان می دهد. به طور مثال: اینکه دوست من اسباب بازی دیگری را دوست دارد.اگر کسی خشمگین است می فهمیم چیزی او را ناراحت می کند.فهمیدن اینکه اگر کسی غذا می خورد برای این است که گرسنه است و نه اینکه میخواهد دیگران را تحت تاثیر قرار دهد!فهمیدن دلایل شخصی برای نرفتن به مهمانی و میل ها و حالات درونی اشمثال دیگر فیزیک عامیانه (Folk physics) است که توسط آن ما درک عمومی از زمان، فضا و اشیا داریم. این توانایی به ما کمک میکند موقعیت های فیزیکی را درک کنیم و در جهان فیزیکی حرکت کنیم. دلیل تعریف آن به عنوان عامیانه این است که فیزیکی که ما از جهان درک میکنیم معمولا اشتباه و انطباق زیادی با فیزیک تجربی ندارد ولی با این حال «مفید» است. مثال های معمول فیزیک عامیانه:هر چیزی که بالا می رود بالاخره پایین می آیداگر شی ای رها شود در خط مستقیم پایین می آید.یک شی سخت نمی تواند از وسط یک شی سخت دیگر عبور کند.اتفاقات یا همزمان می افتند یا پس و پیش دارنداین نوع درک شهودی به ما کمک می کند تا علت و معلول ها و استدلال های زمانی را درک کنیم. به مانند بازنمایی دانش متعارفی،‌ استدلال متعارفی هم بسیار چالش برانگیز و مدل سازی آن دشوار است. تلاش های اولیه برای مطالعه ی استدلال متعارفی معطوف به گسترش سیستم های صوری برگرفته از ریاضیات و منطق به منظور مدلسازی ویژگی های خاص این نوع استدلال بود. یکی از موضوعات پژوهشی جالب در این مورد استدلال ربایشی (abductive reasoning) است که برای اولین بار توسط چارلز پیرس (Charles Pierce‌) که به پدر عملگرایی آمریکا هم شهرت دارد مورد بررسی قرار گرفت. استدلال ریایشی شاید نزدیک ترین نحوه ی استدلال به روش استدلال متعارفی باشد که در آن برخلاف استدلال استقرایی یا استنتاجی هدف تولید مجموعه ای از فرضیات با داشتن تعداد محدودی از مشاهده است. به طور مثال اگر شما به خانه برگردید و شیشه ی پنجره شکسته باشد می توانید «استدلال» کنید که دزد شیشه را شکسته یا سنگ به آن خورده یا یک پرنده به آن محکم خورده است. این نوع استدلال با نحوه ی استدلال بیزینی (Bayesian Inference) ارتباط بسیار نزدیکی دارد چرا که هدف آن تولید و ارزیابی مجموعه ای از فرضیات است که محتمل تر بنظر می رسند. پرداختن بیشتر به این نوع استدلال از حوصله ی این بحث خارج است ولی می توانید اینجا بیشتر روی آن مطالعه کنید.اما مدل های زبانی می توانند تمام این پیچیدگی ها را با تعریف مساله ی به ظاهر بی اهمیت «پیش بینی کلمه ی بعدی» حل کنند!‌ مدل های زبانی به صورت طبیعی «تولید کننده» (generative) هستند. به این معنا که یک بخش از متن را به صورت ورودی گرفته و با توجه به آن کلمه ی بعدی و بعدی را تولید می کنند. این تا حدی شبیه به گرامر هایی است که درباره ی آن ها صحبت کردیم با این تفاوت که در اینجا بازنمایی صحیح دانش و استدلال های متعارفی و بسیاری دیگر از ریزه کاری های زبانی که از نحو ساده فراتر می رود به صورت خودکار رعایت می شود. این مدل ها همچنین تصویر سنتی از مهندسی سیستم های خبره (expert system) و هوشمند و حتی نحوه ی دید معماری گونه در مورد این سیستم ها که حتی به دانش مغز هم سرایت کرده است ( ادامه ی نظریات شبه علمی ای چون phrenology) را مورد چالش جدی قرار می دهد. در تصویر سنتی سیستم هوشمند ساختاری ماجولار دارد که در آن پایگاه دانش، موتور استنتاجی و بخش های دیگر جدا از هم هستند. این در حالی است که مدل های زبانی مبتنی بر شبکه های عصبی چند لایه تمامی این ماجول ها را یکجا در خود دارند. هیچ بخش جداگانه ای برای استدلال یا ذخیره ی دانش وجود ندارد همه چیز در وزن ارتباطات شبکه ذخیره شده است! اگر این مدل ها تنها تولید کننده ی زبان هستند نمی توان آن ها را «زنده» یا «هوشمند» نامید بلکه آنها صرفا سیستم های بسیار پیچیده ای هستند که آنقدر در شبیه سازی استفاده از زبان در تمامی جنبه های آن، از مکالمات روزمره، تکنیکی، شعر، انتقادی و غیره موفق هستند که عملا ما را گول می زنند! دانستن این نکته مهم است که chatgpt با اینکه یک سیستم خارق العاده است نمی تواند دانش جدید تولید کند. به این معنا که چنین سیستمی قادر نیست که از جهان خارج نمونه برداری کرده و نتایج جدیدی بگیرد. اما این به آن معنا نیست چنین سیستمی نمی تواند مفید باشد بلکه کاملا برعکس در بسیاری از مواقع آنچه ما به عنوان «فکر کردن» می شناسیم چیزی جز گشتن در اطلاعات موجود و نتیجه گیری از آن ها نیست. اما در بسیاری از مواقع این اطلاعات به صورت صریح در ذهن ما وجود ندارد. به طور مثال دو قطعه اطلاعات زیر را در نظر بگیرید:۱- شما می دانید که گیاهان نیاز به نور برای رشد دارند چون نور لازمه ی فوتوسنتز است.۲- شما می دانید که میزان نور خورشید با توجه به زمان روز متفاوت است و معمولا بیشترین نور در حدود ظهر رخ می دهد.از این دو قطعه اطلاعات می توانید نتیجه بگیرید گیاهان در طول روز در نزدیک ظهر بیشترین رشد را دارند. چنین اطلاعات جدیدی نتیجه ی «منطقی» اطلاعات پیشین است اما شاید ما به صورت صریح هرگز به آن فکر نکرده باشیم.این مشاهده جالب است چرا که نشان می دهد chatgpt می تواند اطلاعات موجود را بگیرد و اطلاعات جالب جدیدی را تولید کند که هرگز به آن فکر نشده است. با این حال «فکر کردن» قطعا چیزی فراتر از پر کردن حفره های دانش به این طریق است. «کنجکاوی»، «مشاهده» و حتی بخش زیادی از «شهود» معانی ای فراتر از «شناخت» پیاده سازی شده در مدل های زبانی کنونی دارند. توجه بیش از حد به «شناخت» (cognition) به عنوان مهم ترین کارکرد مغز بشر باعث شد بسیاری به این باور برسند که تمرکز اصلی تنها باید بر روی سیستم های شناختی و شبیه سازی آن باشد. با این حال این باور قدیمی مورد چالش های جدی قرار گرفته است ولی همچنان اثر قوی اش را در رشته هایی چون هوش مصنوعی و حتی علوم عصب شناسی می توان دید.بخش دیگری از توانایی ChatGPT در دسترسی اش به بدنه ی عظیمی از دانش و اطلاعات در حین آموزش برمیگردد که عملا خارج از توانایی یک شخص عادی برای مطالعه آن همه اطلاعات است. به طول مثال نمودار زیر یک تخمین است که نشان می دهد در بهترین حالت یک فرد در حدود بیست سالگی حدود ده هزار تا صد هزار برابر کمتر از GPT3 کلمه دیده است.بنابراین قصور در توانایی های استدلالی یا یافتن همبستگی ها در چنین سیستم هایی معمولا با داده های عظیم جبران می شود. روش ساده + داده ی زیاد + مهندسی پیچیده!مدل های GPT در اساس مدل های بسیار ساده ای هستند. تصور کنید بتوانید به سی یا چهل سال پیش برگردید و به زبان شناسان، دانشمندان علوم داده و هوش مصنوعی و حتی فیلسوفان بگویید که برای حل مساله ی «شناخت سطح بالا» (higher cognition) مانند استدلال متعارفی، داستان گویی، استدلال ریاضی،‌شعر و برنامه نویسی و آشپزی و پزشکی و تقریبا هر تخصص دیگری یک روش ساده وجود دارد که برای درک آن به ریاضی ای فراتر از دبیرستان نیاز نیست. تمام این افراد از تعجب شاخ در می آوردند!مدل های ترنسفورمر که قلب GPT هستند بر مکانیزم attention متکی هستند که چیزی جز یافتن همبستگی بین کلمات در یک متن و پیش بینی کلمه ی بعدی نیست!‌ نه خبری از معادلات دیفرانسیل عجیب و غریب و نه فیزیک کوانتوم یا حتی احتمال بیزینی اینجاست!‌ البته نباید منکر شد که پیچیدگی های زیادی در جزییات مهندسی چنین سیستم هایی وجود دارد اما اساس خود مدل ها به شدت ساده است.نتیجه ی داستان این است که بسیاری از بخش های «شناخت بشر» با مدل های بسیار ساده تر از آنچه قبلا تصور می شود قابل شبیه سازی است. با این حال این موضوع به این معنی نیست که مغز ساده است اما ممکن است به این معنی باشد که شاید مکانیزم های ساده ای در مغز هم وجود دارد که به پیچیدگی و هوشمندی و در نهایت آگاهی منجر می شود. داده، داده و داده ی بیشترکار کردن با ChatGPT شگفت انگیز است چون به شما نشان می دهد چقدر می توان در مورد جهان تنها از طریق دسترسی به داده ی متنی دانست! با این حال باید بر این نکته تاکید کرد که وقتی می گویم مدل های زبانی این «زبان» در یک معنای محدود «متنی» مورد استفاده قرار گرفته و به معنای کلی «زبان» نیست. زبان یک پدیده ی پیچیده است که فراتر از متن می رود و به صورت، لهجه و واج شناسی (phonology)،‌عمل و شناخت متجسم (embodied cognition) و بسیاری از چیزهای دیگر خود را نشان می دهد. زبان از طریق رفتار و عمل در جهان و بازخورد از آن (اشیا و موجودات و انسان ها و غیره) آموخته می شود: چیزی که مدل های زبانی هیچ دسترسی ای به آن ندارند.اصل مهمی که در تحقیقات پردازش زبان طبیعی برای دهه ها راهنمای پژوهشگران بوده است را می توان در جمله ی مهم زبان شناس فقید جان رابرت فیرث (‌‌John Robert Firth) خلاصه کرد:« یک کلمه را در همراهانی که دارد درک می کنی»رابرت فیرث ۱۹۵۷ایده ی فیرث بسیاری از هم دوره ای هایش را تحت تاثیر قرار داد و منجر به چیزی شد که امروز به نام «مکتب لندن» در زبان شناسی شناخته می شود. ایده های او بعد ها «معنا شناسی شناختی» (cognitive semantics) که توسط جورج لاکوف (George Lakoff) معرفی شد را تحت تاثیر قرار داد. ایده ای که منجر به مفهوم «شناخت بدنمند(متجسم)» (embodied cognition) شد.معنا شناسی توزیعی (distributional semantics) از ایده های فیرث می آید و بیان می کند «فقره های زبانی با توزیع مشابه دارای معنای مشابه هستند» به طور مثال کلماتی چون «موز» و «سیب» توزیع های زبانی مشابهی در متون دارند به این معنا که با کلمه هایی چون «خوردن»، «ویتامین»، «گیاه» و غیره همراهی بیشتری دارند تا کلماتی چون «کنگره»، « موش» یا «سرداب». این ایده ی نسبتا ساده اساس روش های embedding کلمات است که آن ها کلمه به صورت بردارهایی در یک فضای با بعد دلخواه بازنمایی می شوند. این بازنمایی برای روش های بعدی که بنیاد GPT بود بسیار اساسی تلقی می شود. دیدگاه فیرث نسبت به بسیاری از زبان شناسان هم دوره اش تفاوت های اساسی داشت که بیشتر به دنبال ساختن سیستم های تحلیلی، منطقی یا ساختار های کتگوریکال بودند. فیرث از سیستم سازی عبور کرد و به دنبال تعاریف عملی گشت.از یک دیدگاه عمیق تر فلسفی، معنا از رابطه با جهان ایجاد می شود مفهومی که بیشتر به ویتگنشتاین متاخر منصوب است. ویتگنشتاین معنای کلمات را در کاربرد آن ها می دانست و نه تعاریف متافیزیکی. با این حال در اینجا باید دقت کرد که «کاربرد» فراتر از متن گرایی ( contextualims) در داده ی نوشتنی می رود و به معنای کلی آن است.تعیین اینکه چقدر از این «کاربرد» در مدل های زبانی بزرگ نهفته است، سوال چالش بر انگیزی است اما نگاهی به عملکرد خارق العاده ی این مدل ها در درک اینکه چگونه کلمات در موارد مختلف مورد استفاده قرار می گیرند نشان می دهد متن به تنهایی حاوی اطلاعات بسیار زیادی است، شاید بیشتر از آنچه قبلا تصور میشد. به طور مثال شاید به نظر برسد فهم فیزیکی جهان نیازمند «عمل» در جهان است با اینحال چنین مدل های نشان می دهند تا حدود زیادی از اینکه چگونه جهان فیزیکی اطراف ما کار می کنند خبر دارند بدون اینکه اطلاعات مستقیمی از آن گرفته باشند. به طور مثال نمونه ی زیر از توانایی GPT4در حرکت در یک نقشه ی خیالی که توسط کاربر ترسیم شده است پرده بر میدارد. این مدل به راحتی در نقشه حرکت می کند و دقیقا می گوید کجاست و چگونه می توان به نقطه ی دیگر رسید! چیزی که ما به عنوان تصور فضایی می شناسیم!مثال دیگر نشان دهنده ی درک جاذبه ی ChatGPT استیا استدلال ربایشی را در نظر بگیرید که نیازمند درک عمیق دانش متعارفی است که ما با استفاده از قدرت مدل تولیدی مغزمان (generative model) از عهده ی ما بر می آییم.موارد بسیار بیشتری هست که می توان به آن پرداخت و بیشتر از توانایی این مدل ها در فهم جهان تحت تاثیر قرار گرفت.با این حال باید به این نکته توجه کرد که این مدل ها بسیار ناکارآمد هستند به این معنا که برای رسیدن به سطحی از درک از جهان که یک کودک سه ساله براحتی به آن می رسد در عمل نیاز به خوردن تمام متن های جهان (کتاب ها مقالات بلاگ ها و اخبار و غیره) دارند. برخی احتمال می دهند دلیل چنین نا کارآمدی تکیه ی بیش از حد بر روی تنها متن است اما چنین سوالی یک مساله ی باز است.کاوش در مرز های جدیدبر اساس آنچه تاکنون درک کرده ایم مدل های زبانی بزرگ می توانند جنبه های زیادی از جهان را درک کنند که فراتر از توانایی هر شخص است. این ویژگی یکتا یک فرصت منحصر بفرد به این مدل ها می دهد و آن کاوش کردن بخش هایی از دانش کلی بشر است که به طور معمول یافتن آن ها زمان بر است. حفره های زیادی در فهم ما از جهان وجود دارد که لزوما نیازی به نگاه کردن به بیرون و جمع آوری داده های بیشتری ندارد. به طور مثال اخیرا کشف شده است که برخی از شکل های باستانی به صورت فراکتال هستند این در حالی است که هم این شکل های باستانی دهه هاست کشف شده اند و هم فراکتال ها مدت هاست شناخته شده اند با این حال این یافته جدید است! تنها مشکل این بود که کسی این دو را به هم ربط نداده بود. تصور کنید یک موتور قدرتمند تحلیل دانش بتواند در تمام دانش بشر کنکاش کرده و یافته های جدیدی پیدا کند که شاید دهه ها طول بکشد تا به طور عادی کشف شود.این نکته شاید جالب ترین و هیجان انگیز ترین امکانی باشد که مدل های زبانی بزرگ با خود می آورند. باید منتظر شد و دید چگونه افراد مختلف ایده های جدیدی را برای عملی کردن آن می یابند.rohola zandierohola zandieWed, 29 Mar 2023 20:10:36 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/پیشنهاد-کتاب-مفاهیم-ریاضیات-جدید-acmptn94dpccتا جایی که یادمه من هم تقریبا مثل همه ی دانش آموزا از ریاضی فراری بودم. ریاضی همون موضوع ترسناک و سخت و حوصله سر بر بود که باید دلهره هاش رو توی سوالای میان ترم و پایان ترم حس کنی و پایین ترین نمره ی توی کارنامه و حس بد ازینکه حتما باهوش نیستی! و با نمره ی علوم و تاریخ هم نمیتونی جبرانش کنی. با این حال علاقه عمومی به علم داشتم. اولین بار در کتابخانه به جای کتاب های علمی معمول تر چشمم به کتاب «مفاهیم ریاضیات جدید» خورد و اولین سوالی که برایم پیش آمد مگر ریاضی هم قدیم و جدید دارد! با ورق زدن صفحه های کتاب اثری از فرمول و معادلات ترسناک نبود و سعی کردم بروم و بخوانمش! کتاب همچون داستانی برای من خودنمایی کرد. تصور اینکه بتوان یک کتاب ریاضی را باز کرد و حسی از یک رمان ماجراجویی با نشان دادن اینکه هر مفهموم ریاضی از کجا آغاز شده و تصور ما چگونه از مفاهیم بسیار اساسی که شاید گاهی حتی به آن فکر هم نکنیم و پیش فرض بگیریم تغییر کرده است. کتاب با سوال اساسی که اصلا خود ریاضیات چیست و آیا برای ریاضیات محدودیتی وجود دارد و معنای حقیقت ریاضی چیست آغاز میکند و به مجموعه ها تغییر میکند تا به مفاهیم جالب تری مانند توپولوژی، جبر و نظریه ی گروه ها برسد! اگر پیش خودتان فکر میکنید دانستن این همه ریاضی اضافه چه فایده ای دارد. فایده های چنین مطالعه ای حداقل بالا رفتن نمره های ریاضیای و فیزیکتان باشد مثل من که نمره ی ریاضیاتم از پایین ترین نمره ها در راهنمایی به بالاترین نمرات در دبیرستان تغییر کرد.اما ( حتی بدون درگیر شدن با جزییات فرمول ها) خواندن ریاضی می تواند روش فکر کردن شما به مسائل را تغییر دهد و منظور من از مسائل صرفا مسايل ریاضی صرف نیست بلکه شیوه ی فکر کردن روزمره. این تاثیر تا به امروز برای من چنان عمیق بود که حس کردم چنین کتابی نیاز است که در قفسه ی خانه باشد و گه گاهی آن را ورق زد. بنابراین نسخه ی انگلیسی کتاب را سفارش دادم (عکس بالا)!کتاب نوشته ی یان استیورات و به قلم جمشید پرویزی ترجمه شده است. ترجمه بسیار روان و ساده و دقیق است. یان استیوارت استاد دانشگاه واروید و خودش فارغ التحصیل کمبریج است از معدود نویسنده های عمومی علمی است که در حوزه ی ریاضیات کتاب های پرفروش می نویسد و خودش یک ریاضیدان شناخته شده است. اون کتاب های بسیار دیگری هم در حوزه ی علم دارد که تقریبا هیچ کدام دیگر ترجمه نشده است!rohola zandierohola zandieTue, 28 Feb 2023 02:40:05 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/درک-گسسته-ی-لاپلاسین-hpjjgxoqddguگاهی رجوع دوباره به مفاهیم قدیمی دید تازه ای به ما میدهد. چند روز پیش با اپراتور لاپلاسین کار میکردم و سعی کردم برای تازه کردن مفاهیم نگاه دوباره ای به فرمول هایش بیندازم. چیزی که ما از لاپلاسین یاد میگیریم فرمول زیر است:تعریف رسمی چنین اپراتوری مشتق دوم در فضای n بعدی اقلیدسی است (فرمول بالا فقط برای دو بعد است x و y). گاهی آن را با مشتق دوم هم مقایسه می کنند. بنابراین میتوان آن را به صورت مشتق مشتق یا گرادیان گرادیان هم نگاه کرد! حالا بیاییم ببینیم گرادیان به چه معناست!‌گرادیان جهت بیشترین تغییرات تابع است!‌ اینجا یک تفاوت مهم وجود دارد و آن این است که گرادیان جهت دار است یعنی بردار است. بیاید ساده ترین مثال را در نظر بگیریم در حالتی که تابع ما در یک مشبک دو بعدی تعریف می شود و هر سلول در این مشبک مقدار تابع در آن نقطه است!‌ این اعداد می توانند میزان تراکم افراد در نقاط مختلف شهر یا گرمای سطح یا حتی شبکه های اجتماعی باشد. دلیل اصلی مشبک کردن این است که از شر حد ها و حساب بی نهایت کوچک ها راحت شویم. در عمل هم هیچ تابع واقعی در کامپیوتر تا بی نهایت دقت ندارد! حتی برای سطح دمای زمین از هم در نهایت دقت ما به پیکسل هایی میرسد!یعنی در عمل برای تابع ۲ بعدی چیزی شبیه شکل زیر را داریم:حالا سوال این است که در جهت x و y مقادیر چطور تغییر میکنند! چنین چیزی خیلی ساده است و هیچ نیازی به درک حد ندارد! کافی است نگاه کنیم در یک سلول دلخواه i و j چطور تابع تغییر می کند. یعنی ببینیم مقدار سطر قبل و سطر بعد (همان ستون) چقدر تفاوت دارند! این فرمول از تعریف خود مشتق می آید با این تفاوت که h در اینجا مقداری نیست که به سمت بی نهایت میل می کند بلکه دقیقا برابر با ۱ و اندازه ی فاصله بین سلول هاست! مشتق تابع در جهت x (یا سطر)‌ می شودو به همین ترتیب برای ستون یا جهت yشکل زیر این مقادیر را نشان میدهد و جهت هایی که بررسی میکنیمسوالی که پیش می آید این است که چرا سطر و ستون بعدی و نه قبلی را انتخاب کردیم؟ جواب این است می توان آن کار را هم کرد بدون تغییر زیاد در بقیه فرمول ها باید به یاد داشته باشیم این فقط یک تقریب است! وقتی این عدد ها حساب می شوند گرادیان هم محاسبه می شود!که می شودبه همین سادگی!برای مشتق دوم چکار کنیم؟ مشتق دوم چیزی جز مشتق مشتق نیست! یعنی خود مشتق چطوری تغییر می کند. اگر در سلول i , j باشیم برای هر بعد می توان دو مشتق حساب کرد یکی از i به i+1 مثل بالا و یکی از i-1 به iاگر هر کدام از مشتق ها را حساب کنیم و مثل قبل تفاضل آن ها را حساب کنیم عملا مشتق دوم را حساب کرده ایم. به زبان فرمول ها:که می شودهمین را برای مشتق دوم در جهت y هم داریمشکل زیر چهار بردار و تغییرات آن ها را نشان میدهد (با رنگ)به این ترتیب می توان لاپلاسین را براحتی نوشت!جدای از روش استخراج فرمول بیایید یک نگاهی به خود فرمول بندازیم. این فرمول در عمل خیلی ساده است به این ترتیب که نگاه می کند سلول های همسایه ای (به جز گوشه ها) مقدارشان چقدر بیشتر از مقدار مرکز است. سلول مرکزی را در چهار ضرب می کنیم که مقیاس درست باشد (چهار چیز با چهار چیز مقایسه شود). اگر این مقدار مثبت باشد چه معنی ای دارد؟ معنی اش تقریبا این می شود در مجموع اگر در هر جهتی (شمال و جنوب و شرق و غرب) حرکت کنیم به طور متوسط مقدار بالاتر می رود. انگار از یک چاله داریم بالا می آییم! برعکس اگر این مقدار منفی باشد یعنی مرکز شبیه به یک تپه است! این همان معنی لاپلاسین است!روش دیگر نگاه کردن به لاپلاسین می تواند از طریق یک ماتریس مانند زیر باشد:در این صورت اعمال لاپلاسین فرقی با کانولوشن این ماتریس با ماتریس تابع (مشبک) ندارد! (قلم و کاغذ بردارید و خودتان استخراج کنید!). یک سوال این شاید باشد چرا ما گوشه ها را در نظر نگرفتیم جهت های دیگری هم متصور است. اگر فرض کنیم اعدادی که تابع مشبک را نشان میدهند تقریبا شبیه به یک صفحه هستند در این صورت نیازی به محاسبه آن جهت ها نیست چون آن جهت ها عملا در دو جهت بالا پایین و چپ راست ملاحظه می شوند (بردار مستقلی نیستند) اگر تابع ما بسیار صاف (smooth) باشد یا نقاط زیادی از آن داشته باشیم آنگاه مقادیر بهم نزدیک و رویه بسیار شبیه صفحه بنظر می رسد (شما هر رویه ای پیوسته ای اگر به اندازه ی کافی روی آن زوم کنید شبیه به صفحه می شود (شرایط دیگری هم لازم است اینجا در نظر نمیگیریم)) اما اگر رویه ای که مشبک نشان می دهد خیلی صاف نباشد باید گوشه ها را هم در نظر گرفت. یک روش پایدار تر برای محاسبه ی لاپلاسین استفاده از ماتریس زیر است:حتی می توان برای ابعاد بالاتر هم به لاپلاسین فکر کرد. اگر سه متغیر داشته باشیم. و فقط جهات اصلی را در نظر بگیریم (بالا پایین چپ راست جلو و عقب) آنگاه سه ماتریس خواهیم داشتبرای سه صفحه به شکل زیر (یک تصور فضایی کمک میکند بفهمید دارد چه اتفاقی می افتد)این همان روش finite difference است که برخلاف آنکه برای درک ریاضیات پیوسته ی حسابان بسیار مفید است بسیار کم در نظر گرفته می شود. به جای آن استفاده بیش از حد از حساب بی نهایت کوچک ها مفاهیم را قدری مبهم و سخت فهم میکند. اگر من روزی از شما میپرسیدم که چگونه میشود گرادیان یا مشتق را در کامپیوتر پیاده سازی کرد قطعا شما با سوالات زیادی روبرو می شدید ولی با دانستن روش تفاضل محدود (finite difference) می توان بسادگی معادلات پیچیده را در کامپیوتر پیاده سازی کرد و درک جدید تری نسبت به آنها پیدا کرد.در قسمت بعدی کد لاپلاسین را در متلب میزنیم و یک مثال ازینکه اصلا به چه دردی میخورد و چطور میتوان فهم شهودی از آن داشت!rohola zandierohola zandieSat, 04 Feb 2023 21:19:25 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/وظیفه-ی-نگارش-b63f7mqwfcmxاز سنین بسیار کم یک سوال همواره ذهنم را مشغول میکرد: چرا غرب در صنایع و علم از ما پیشرفته تر است؟ چه اتفاقی افتاد که اروپا وارد دوران جدیدی شد و تقریبا مابقی دنیا را با فاصله بسیار زیاد پشت سر گذاشت؟ مقایسه ی تصاویر نیاکانمان در صد سال پیش با اروپاییان دردناک است. در حالی که ایرانیان با گرسنگی و فقر دست و پنجه نرم می کنند و ابزارهای موجود و روش های کشاورزی و حمل و نقل و نساجیشان تفاوت چندانی با هزار سال پیش نمی کند در اورپا مردم لوکوموتیو و ماشین و تلگراف دارند و با استفاده از روش های تولید بسیار کارآمد به نقاط مختلف دنیا حرکت می کنند و آنقدر امکانات و لوجستیک دارند که به کشورهای بسیار دوردست حمله می کنند آنها را (که بیشترشان هنوز با شمشیر و نیزه می جنگند) به راحتی شکست می دهند و استعمارگری می کنند.چه عاملی باعث شد آنچه امروزه به نام «انقلاب صنعتی»‌ می شناسیم اتفاق بیفتد؟ دلایل آنچه که سه اتفاق مهم در تاریخ اروپا: رنسانس، روشنگری و انقلاب صنعتی رخ داد بسیار پیچیده و گونه گون است و هنوز هم نظریات زیادی در مورد آن وجود دارد و رشته های دانشگاهی به مطالعه ی آن می پردازند. در این نوشتار هم قصد نداریم همه دلایل را بیاوریم یا سعی کنیم ریشه یابی آن را به یک عامل محدود کنیم. اما آنچه می خواهم به آن بپردازم یک اتفاق بسیار مهم است که به تغییر نگرش و جهان بینی غربیان منجر شد.دیدرو فیلسوف فرانسوی فرزند یک استاد صنعتکار بود. او از کودکی آنچه پدرش انجام می داد را می ستایید. از طرفی دیدگاه غالب زمانه بیشتر به ستایش قدیسان، روحانیون، قهرمانان جنگی یا شاهان می پرداخت. او می دید که چنین اشخاصی با اینکه تقریبا هیچ فایده ای به حال جامعه ندارند سطور بیشتر کتاب ها را پر کرده اند. از طرفی صنعتکاران، آهنگران،‌ نساجان، کشاورزان و بقیه متخصصان فنی حقیر و پست شمرده می شوند. او جایی می گوید:«در مورد فلسفه و الهیات و مذهب بسیار نوشته شده است در حالی که به ندرت چیزی در مورد هنرها نوشته شده و تقریبا هیچ چیزی در مورد دانش های مکانیکی ثبت نشده است» جایی دیگر می گوید: « چه قضاوت عجیبی می کنیم! ما می خواهیم که مردمان به کارهای مفید مشغول باشند و در عین حال مردان مفید را خوار می شماریم».دیدرو به همراه دآلامبرِ ریاضیدان در سال ۱۷۵۱ پروژه ای را به نام آنسایکلوپدی (Encyclopédie) آغاز کردند که شباهت های بسیاری به دانشنامه های امروزی دارد. با اینکه آنسایکلوپدی اولین دانشنامه بشر نیست ولی تفاوت های بنیادینی با تمام دانشنامه های پیشین دارد. نویسندگان آنسایکلوپدی با هدف بزرگداشت «مفید بودن» و گرامی داشتن آن به عنوان یک فضیلت،‌ در صفحاتشان به رمز و رموز صنعت و مهارت های فنی می پرداختند. به این منظور آن ها به سرتاسر کشور مسافرت کرده و با صنعتکاران صحبت کرده و سعی می کردند تجربیات آنها که معمولا شخصی یا گرفته شده از تجربه ی شغلی نیاکانشان بود، ثبت و ضبط کنند. البته این کار همیشه آسان نبود چون برای بسیاری از این صنعتکاران چنین اطلاعاتی رموز کارشان بود و حاضر نبودند برملا شود.آنسایکلوپدی بر روی مهارت های عملی، سودمندی، افزایش کیفیت در ساخت و ساز و تشویق به پیشرفت تاکید داشت. چنین مجموعه ای شبیه یک انفجار در دانش فنی در زمان خودش بود چون به زودی بقیه صنعتکاران شروع به خواندن آن کردند و روش های تجربی بقیه را در کار خود وارد کردند. مثلا یک آهنگر در جنوب آلمان ممکن بود روش تجربی بسیار جالبی از پدرش (و نیاکان پیشینش) در مورد گداخته کردن یا شکل دادن به فلزی خاص را آموخته باشد که تقریبا شخص دیگری در دنیا آن را نمی دانست. مردن آن شخص برابر بود با از بین رفتن آن دانش. اما به کمک آنسایکلوپدی آهنگر یا صنعتکار دیگری در فرانسه یا انگلیس با خواندن آن می توانست روش های خود را بهبود بدهد! چنین گنجینه ای از دانش چیزی شبیه به موتور های دانش امروزی یا فورم های بزرگی مانند استک اورفلو (stackoverflow) یا ویکی پدیا عمل می کرد. نتیجه ی چنین انتقال دانشی افزایش مقیاسِ کارِ صنعتی را بیش از پیش ممکن می کرد. دیگر ساختن ماشین هایِ عظیمِ صنعتی غیر ممکن نبود! چنین تغییری سنگ بنای انقلاب صنعتی شد که در آن کارخانه جات نوین صنعتی در مقیاس بزرگ به تولید مشغول بودند. چنین پیشرفتی شمایل غرب را از ساختمان ها و راه ها تا حمل و نقل، نساجی، تولید غذا، مواد شیمیایی و کشاورزی به صورت عظیمی تغییر داد.اما این تمام ماجرا نبود: آنسایکلوپدی مردم را به تغییر دیدگاه در مورد منشا قدرت تشویق می کرد. در حالی که آنسایکلوپدی در صفحه هایش به هنر های صنعتکاران و افراد فنی می پرداخت تقریبا چیزی در مورد شاهان، روحانیون یا قهرمانان جنگ نمی گفت. بالا بردن سطح متخصصان فنی به معنای پایین آوردن ارزش پوشالی طبقه ی اشراف زادگان و روحانیت بود. دیدرو می نویسد: « هیچ کس حق ذاتی این را ندارد که به بقیه دستور دهد» مطابق این دیدگاه، هر قدرت سیاسی نیازمند این است که به توافق همگان برسد و عقلانی باشد. اثر دیدرو عقلانیت و استدلال را بالاتر از هر چیزی قرار می دهد و این دگرگونی به نیروهای سرمایه (capital) و کار (labor) عرصه برای شکوفایی داد طوری که بعدها بتوانند صحنه را به دست بگیرند.آنسایکلوپدی اولین تلاش برای سکولاریزه کردن دانش و رهانیدنش از چنگال کلیسا و مذهب بود. دیدرو می اندیشید که دانش تمام جهان را در آنسایکلوپدی وارد کند و آن را به نسل های بعد منتقل کند. با این اوصاف مشخص است که چنین اثری به مذاق قدرت (شاه و روحانیون)‌ خوش نمی آمد. در اولین چاپ، چهار هزار نسخه از آن بفروش رفت اما سانسور ها آغاز شد و بسیاری از مراکز قدرت سعی در اخلال و توقف پروژه بر آمدند. اما کار به صورت پنهانی ادامه یافت چرا که حامیان مهم و مشتاقی برایش وجود داشت. این ممنوعیت ها و سانسور ها در نهایت کار به جایی نبرد در حالی که اثر کتاب آنقدر زیاد بود که در کنار عوامل دیگر آتش های انقلاب فرانسه را شعله ور کرد. این انقلاب در نهایت منجر به سرنگونی نظام سطلنتی و انتقال به جمهوری دموکراتیک و ایجاد لایتیسه در فرانسه شد.اما گفتن این حرف ها چه دردی از امروز ما دوا می کند؟ اینترنت و انواع و اقسام دانشنامه ها، کتاب ها و فورم ها به صورت آنلاین هست. چه چیزی می توان از دیدرو یاد گرفت. از دیدگاه من روشنگری با اینکه در زمان و مکان دیگری رخ داده است درسهای زیادی برای ما دارد. اولین نکته این است که باید از خود بپرسیم قهرمان های ما واقعا چه کسانی هستند؟ چه کسانی کار تولید می کنند و زندگی همگان را راحت تر می کنند و چه کسانی هیچ خروجی مشخصی ندارند. اما فراتر از آن تغییر دیدگاه نسبت به مقوله ی فرهنگ کتبی ست. در این مورد از یک خاطره شخصی شروع میکنم.چندی پیش یکی از دوستان آمریکاییم دو کتاب جالب نشانم داد. کتاب های آشپزی! اما نکته ی جالب توجه در مورد این کتاب ها این بود که این کتاب ها توسط نویسندگان حرفه ای یا ناشر خاصی منتشر نشده بود بلکه کتاب هایی بود که توسط خانم های محلی در یک منطقه ی تقریبا دور افتاده ی آمریکا نگاشته شده بود. به طور مشخص مقدمه ی یکی از کتاب ها توجهم را بیشتر جلب کرد. کتاب (یا جزوه) توسط زنی یونانی نوشته شده بود که والدینش به ماساچوست آمریکا مهاجرت میکنند و در آنجا تعداد زیادی از هم روستایی هایشان را میبینند. آنها به روش یونانی به آشپزی ادامه می دادند و به روش خود به کشاورزی می پرداختند. نگارنده سالها بین این افراد جستجو کرده بود و از خانواده خود شروع کرده و به آشنایان و دوستان رسیده و تمامی دستورالعمل های جذاب که از نسل های منتقل شده بود را در یک مجموعه گرد‌آوری کرده بود. این البته اولین بار نیست که چنین مجموعه های جالبی را اینجا میبینم. نمونه های چنین کارهایی در ایران تقریبا نایاب است. بسیاری از دانش های تجربی بین نیاکان ما از بین رفته یا از طرف نسل های جدید مورد بی توجهی قرار گرفته است. نتیجه آنکه ما فرهنگ کتبی بسیار ضعیفی داریم و همین مساله پیشرفت ما را کند می کند. حتی معدود تحصیل کردگان ما که علاقه به خواندن دارند تقریبا هیچگاه نمی نویسند.کتاب آشپزی یک مثال کوچک از تغییر فرهنگ عمومی در میان غربیان به نوشتن بسیار، بخصوص بعد از روشنگری است. بسیاری از آنها زندگی نامه نویسی (اتوبایوگرافی) یا حتی درخت خانوادگی (شجره نامه) دارند. اعتماد کمتر به حافظه و هوش و همزمان سیستماتیک تر کردن ثبت و ضبط و انتقال دانش حرکت بسیار هوشمندانه ای است که دیر یا زود باید در فرهنگ ما هم اتفاق بیفتد. با تجارب روزانه می توان شروع کرد. حتی اگر روش خوبی برای انجام یکی از روتین های کاری تان دارید آن را بنویسید و جایی (به صورت آنلاین بهتر) ثبت کنید حتی اگر حدس میزنید یک نفر هم آن را نمیخواند. بعد از خواندن هر کتاب بهتر از خلاصه از آن را بنویسید انجام چنین کاری نه تنها آن را برای بازخوانی بعدی ساده تر می کند بلکه به خاطر سپردن آن و بررسی و فهم ابعاد دقیق تر آن بسیار کمک می کند. نوشتن ابزاری است که مکمل خواندن است.هیچ گاه به حافظه تان اعتماد نکنید حافظه ی ما بسیار فرار تر و ضعیف تر از چیزی است که ما به آن اعتماد می کنیم چنین چیزی بارها و بارها در آزمایش های روانشناسی مسجل شده است. سعی کنید نوشتن را به دوستان و اطرافیانتان هم یاد بدهید. نوشتن خود نوعی فکر کردن دقیق تر و قدم به قدم است. چیزی که تقریبا هیچگاه در مدرسه و دانشگاه به ما یاد نمی دهند. اگر فکر کردن و صحبت کردن و مهم تر از آنها نوشتن را تمرین کنید هیچ چیزی جلودار شما نخواهد بود. چرا که می توانید به هر مساله با شفافیت بیشتری نگاه کنید و همه چیز را دقیقا فرموله کنید. از دید اجتماعی هم نوشتن برابر با انتقال تجربه و دانش است که به نوعی وظیفه ی هر شخصی است که از دانش ها و تجارب بیشتر برخوردار است. تاریخ به ما نشان داده تمدن هایی می مانند که منابع کتبی قدرتمند تری دارند. فرهنگ های شفاهی توسط فرهنگ های کتبی بلعیده شده و در نهایت جایگزین می شوند. تاریخ نه کسانی که حرف میزنند بلکه آنهایی که مینویسند را به خاطر میسپارد.rohola zandierohola zandieFri, 21 Jan 2022 10:41:07 +0330https://virgool.ir/@hilbert.cantor/چند-نکته-بسیار-مهم-در-مورد-یادگیری-ماشین-skdxobbpfx1jدر این نوشته یکی از کارهای بسیار مهم و ارزشمند پترو دومینگوس پروفسور دانشگاه واشنگتن برای شما خلاصه و ترجمه کرده ایم. این نوشته در مورد نکات بسیارمهمی از یادگیری ماشین است که حتی متخصصان هم در فهم آن مشکل دارند.الگوریتم های یادگیری ماشین برای عمومی سازی بر اساس تعداد محدودی نمونه توسعه یافته اند. هر روز بر تعداد کاربردهای دنیای واقعی یادگیری ماشین افزوده می شود. اما در عمل پروژه های یادگیری ماشین پیچیده تر و پیاده سازی دشوار تری دارند. بعد از مدتی متوجه می شوید پیاده کردن یک پروژه یادگیری ماشین پر است از چیز هایی که به سختی در کتاب ها پیدا می شود و اصطلاحا فوت کوزه گری یادگیری ماشین هستند که در کار یاد میگیرید. این مقاله بر آن است که بسیاری از این فوت های کوزه گری قابل انتقال هستند. در اینجا لیستی از آن ها آورده شده است.یادگیری=بازنمایی+ارزیابی+بهینه سازیاولین سوالی که در یک مساله یادگیری ماشین پیش می آید این است که از کدام الگوریتم استفاده کنم؟ در واقع هزاران الگوریتم وجود دارند و هر ساله هم به تعداد آن ها افزوده می شود. اما می توان گفت همه الگوریتم ها سه بخش اساسی دارند:۱- بازنمایی: هر الگوریتم باید یک بازنمایی داشته باشد به شیوه ای که برای کامپیوتر قابل فهم باشد. به این فضای فرضیه ی(hypothesis space) یادگیرنده هم گفته می شود.۲- ارزیابی: یک تابع ارزیابی نیاز هست تا یادگیرنده ی خوب را از بد تشخیص داده شود.۳- بهینه سازی: در نهایت ما به روشی احتیاج داریم تا بین دسته بند های مختلف بهترینشان را انتخاب کنیم. انتخاب روش بهینه سازی برای دسته بند اساسی است.در جدول زیر لیستی از این سه بخش که بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد را قرار داده ایم.به طور مثال knn یک نمونه را با یافتن نزدیک ترین (شبیه ترین) در داده های آموزش دسته بندی می کند.البته که تمام ترکیب های ممکن از هر ستون با دیگران معنی ندارد. به طور مثال بازنمایی های گسسته همراه با بهینه سازی های combinatorial می آید و بازنمایی های پیوسته همراه با بهینه سازی های پیوسته می آیند. بیشتر کتاب ها با بازنمایی دسته بندی شده اند. در حالی که با دو ستون دیگر هم به همان خوبی قابل دسته بندی هستند.عمومی سازی مهم است!آنچه در یادگیری ماشین مهم است عمومی سازی است زیرا خیلی بعید است که نمونه هایی که در آموزش داشتیم باز هم ببینیم. یکی از اشتباهات رایج در بین تازه وارد ها این است که الگوریتم را بر روی داده های آموزش اجرا می کنند و فکر می کنند موفق شده اند. ساده ترین کار برای جلوگیری از این اشتباه این است که داده ها را به دو دسته آموزش و آزمون تقسیم کنیم. علاوه بر آن بهتر است از روش k-fold cross validation استفاده کرد. بر خلاف دیگر روش های بهینه سازی، در یادگیری ماشین ما دسترسی مستقیم به تابعی که می خواهیم بهینه کنیم نداریم. تنها چیزی که داریم خطای داده های تست است و این باعث می شود اشتباهات زیادی کنیم که در قسمت های بعد به آن می پردازیم.داده به تنهایی کافی نیست!باید دانست که داده به تنهایی کافی نیست. فرض کنید که یک تابع بولین با 100 متغیر دارید و یک میلیون نمونه برای یادگیری آن. تعداد 2^100-10^6 نمونه وجود دارند که شما نمی دانید. چطور می توانید بدانید که کلاس آن تعداد بسیار زیاد نمونه ای که ندیده اید چیست؟ در واقع با نداشتن اطلاعات بیشتر نمی توان چیزی گفت. این واقعیت اولین بار توسط دیوید هیوم حدود 400 سال پیش مشاهده شد. هر یادگیرنده باید اطلاعاتی بیش از داده ها داشته باشد که بتواند فراتر از آن ها را عمومی سازی کند. این موضوع در یادگیری ماشین به نام قضیه "آش مجانی نداریم"(no free lunch theorem) شناخته می شود که بر طبق آن هیچ یادگیرنده ای بهتر از حدس تصادفی بر روی تمام توابعی که می توان یاد گرفت نیست.پس با این حساب چطور می توان امید داشت که اصلا یادگیری انجام شود؟ خوشبختانه توابعی که می خواهیم در دنیای واقعی یاد بگیریم به صورت یکنواخت از مجموعه تمام توابع ریاضی ممکن انتخاب نمی شود. در واقع فرضیات بسیار کلی مانند پیوستگی(smoothness)، نمونه های مشابه متعلق به کلاس مشابه اند(clustering assumption)، پیچیدگی محدود(limited complexity) معمولا کافی هستند که یک کار خوب صورت بگیرد و اصلا به همین دلیل است که یادگیری ماشین به این خوبی کار می کند.همانند استنتاج(deduction) استقرا(induction) هم یک اهرم دانش است: استقرا یک مقدار کم از دانش را به عنوان ورودی می گیرد و مقدار زیادی دانش به ما می دهد. این دانش به ما کمک می کند که جهت یادگیری را شناسایی کنیم. اگر ما اطلاعات خوبی از این که چه چیزی معیار شباهت بین نمونه ها است داشته باشیم روش های instance based خوب جواب می دهند. اگر در مورد وابستگی های احتمالی اطلاعات خوبی داریم روش های گرافیکی بهتر جواب می دهند و الخ.بیش برازش (Over-fitting) چهره های زیادی دارداگر به اندازه کافی نمونه برای یادگیری یادگیرنده نداشته باشیم چه اتفاقی می افتد؟ ممکن است ما دچار توهم یک یادگیری کامل شویم. بیش برازش(over-fitting) زمانی اتفاق می افتد که دسته بند ما بر روی نمونه های یادگیری دقت بالا دارد اما بر روی داده های آزمون دقت پایینی دارد.هر کسی که بر روی یادگیری ماشین کار کرده باشد با بیش برازش آشنا است. اما باید دانست که بیش برازش در فرم های مختلفی ظاهر می شود. یکی از روش های درک آن این است که خطای یادگیری را به دو بخش بایاس و واریانس تقسیم کنیم.بایاس تمایل یادگیرنده به این است که به طور مکرر یک چیز غلط را یاد بگیرد. واریانس تمایل یادگیرنده به یادگیری داده های رندم است بدون توجه به سیگنال اصلی. شکل زیر این مشکل را با قیاس پرتاب کردن دارت مقایسه کرده است. یک دسته بند خطی دارای بایاس بالایی است زیرا وقتی با یک ابر صفحه نتوان بین نمونه ها تفاوت قائل شد یادگیرنده نمی تواند آن را استقرا کند. درخت های تصمیم این مشکل را ندارند اما می توانند از واریانس بالا رنج ببرند. درخت های تصمیمی که بر روی داده های آموزش متفاوت(اما از یک منبع) آموزش داده می شوند می توانند بسیار با هم متفاوت باشند. همین استدلال در مورد روشهای بهینه سازی هم وجود دارد: beam search دارای بایاس کمتری از greedy search است اما واریانس بالاتری دارد زیرا فرضیات بیشتری را بررسی می کند. باید گفت Cross validation می تواند برای جلوگیری از بیش برازش استفاده شود با این حال حتی آن هم حلال تمام مشکلات نیست زیرا اگر ما از Cross validation برای انتخاب تعداد زیادی پارامتر استفاده کنیم خودش می تواند بیش برازش برایش اتفاق بیوفتد. علاوه بر cross validation راههای دیگری هم برای مقابله با بیش برازش وجود دارند که یکی از محبوب ترین های آن ها اضافه کردن یک جمله تنظیم کننده(regularization term) به تابع ارزیابی است. این روش به طور مثال می تواند برای جریمه کردن تابعی با ساختار(یا پارمتر بیشتر) مورد استفاده قرار گیرد.یک اشتباه رایج در مورد بیش برازش این است که بیش برازش نتیجه داده های نویز مانند نمونه های درست با برچسب غلط است اما این لزوما درست نیست زیرا بیش برازش در نبود داده نویز هم می تواند رخ دهد.(مانند داده های بولین در یک disjunctive normal form)شکست شهود ما در ابعاد بالا!پس از بیش برازش شاید بزرگترین مشکل در یادگیری ماشین، "مشکل ابعاد"(curse of dimentionality) باشد. عمومی سازی با افزایش ابعاد به صورت نمایی دشوار می شود زیرا تعداد ثابت نمونه ها تنها بخش کوچکی از فضا را پوشش می دهد. حتی با تعداد بعد معمولی 100 تا و تعداد بسیار زیاد یک میلیارد نمونه تنها 10^-18 درصد فضا پوشش داده می شود. همین کار یادگیری ماشین را لازم و دشوار می کند.به همین منوال روش های مبتنی بر شباهت که الگوریتم های یادگیری ماشین بر اساس آن ها هستند در ابعاد بالا از بین می روند. حتی اگر تمام 100 ویژگی(بعدی) که داریم مربوط باشند روش نزدیک ترین همسایه (nearest neighbor) مشکل خواهد داشت زیرا در ابعاد بالا تمام نمونه ها شبیه به هم خواهند بود. به طور مثال فرض کنید یک شبکه داریم که نمونه های ما بر روی هر گره شبکه قرار گرفته باشند فرض کنید در نقطه ای از شبکه یک نمونه وجود دارد برای شبکه d بعدی 2d مثال نزدیک آن همه در یک فاصله از آن قرار دارند.برای مثال برای حالت یک بعدی(خط) دو نقطه (چپ و راست) نزدیک ترین اند. برای دو بعد چهار نقطه(شمال جنوب شرق غرب) و برای سه بعد شش نقطه(بالا پایین جنوب شمال شرق غرب) وقتی ابعاد افزایش یابد تعداد بیشتر و بیشتری از نمونه ها در نزدیک ترین فاصله قرار دارند طوری که کم کم نزدیک ترین فاصله بی معنی می شود.در واقع در ابعاد بالا نمی توان شهود ابعاد پایین را اعمال کرد. به طور مثال در ابعاد بالا بیشتر وزن یک توزیع گاوسی چند بعدی نزدیک میانگین آن نیست بلکه در یک پوسته دور است: بیشتر حجم در پوسته است تا در مرکز! برای درک این موضوع فرض کنید یک دایره را در یک مربع محاط کرده اید. اگر اندازه فاصله بین این دو را حساب کنید عددی به دست می آید. حالا اگر همین را برای کره داخل مکعب حساب کنید عدد بزرگتری می شود و به همین منوال این عدد بزرگتر و بزرگتر می شود. شاید عجیب به نظر برسد اما اندازه یک ابرکره با شعاع ثابت با افزایش بعد کاهش می یابد و در بی نهایت به صفر میل میکند! در واقع حجم یک ابر کره برابر است با:در واقع با افزایش ابعاد فاصله دورترین و نزدیکترین نمونه ها به صفر میل می کند. این مشکل باعث می شود همواره دنبال ویژگی ها بهتر باشیم و از ابعاد بالا بپرهیزیم. البته در برخی مواقع اثری با نام "غیر یکنواختی" داده ها باعث می شود نمونه ها بر روی یک رویه(manifold) با ابعاد پایین تر جمع شده باشند.تضمین های نظریه ای آنقدر ها هم که به نظر می رسند خوب نیستند.مقاله های یادگیری ماشین پر است از اثبات های همگرایی و تضمین های نظریه ای. یکی از معمول ترین آن ها معرفی یک حد برای تعداد نمونه هایی است که منجر به یک عمومی سازی خوب می شوند. اول، اینکه اصلا چنین تضمین هایی وجود دارند بسیار تعجب بر انگیز(و خوب) است چرا که در استقرا همیشه قدم در جایی می گذاریم که از آن خبر نداریم. در عمل چنین حدهایی بسیار دور هستند و باید توجه کرد که متاسفانه بسیاری از فضاهای جالب نسبت به تعداد ویژگی ها دارای اندازه ابرنمایی هستند. همچنین این حد ها نمی گویند که چطور یک فضای مناسب را انتخاب کنیم تنها چیزی که به ما می گوید این است اگر فضای فرضیه شامل دسته بند درست باشد، آنگاه احتمال اینکه یادگیر یک دسته بند بد را خروجی بدهد با افزایش تعداد داده های آموزشی کاهش می یابد.مهندسی ویژگی ها کلید اساسی است!در نهایت برخی از پروژه های یادگیری ماشین موفق و برخی دیگر با شکست مواجه می شوند. بنابراین تفاوت در چیست؟ باید گفت مهمترین فاکتور مهندسی ویژگی ها است. اگر شما تعدادی ویژگی مستقل داشته باشید که هر کدام با کلاس همبستگی زیادی داشته باشند یادگیری ساده است. تازه وارد ها از اینکه چقدر زمان کمی در واقع صرف کار یادگیری می شود و چقدر زمان بیشتری باید صرف جمع آوری، پیش پردازش، تجمیع داده شود، تعجب می کنند. همچنین یادگیری یک فرآیند یکباره از ساختن داده و سپس اجرای یادگیرنده نیست بلکه یک فرآیند تدریجی از اجرای یادگیر، تحلیل نتایج و تغییر در داده ها/یادگیر است. یک روش ساده برای یافتن ویژگی های بهتر یافتن بهترین ویژگی نسبت به کلاس به صورت جدا جدا است. هرچند ممکن است یک ویژگی به تنهایی خوب نباشد و همراه با بقیه ویژگی ها خوب باشد.داده های بیشتر یک الگوریتم هوشمند را شکست می دهند!فرض کنید که ویژگی های خوبی هم تعریف کردید اما به نتایج مناسبی نرسیدید چکار میکنید؟ دو راه دارید یا یک الگوریتم بهتر طراحی کنید یا داده های بیشتر جمع آوری کنید. بیشتر محققین دنبال طراحی الگوریتم های بهتر هستند ولی در عمل داده های بیشتر بهتر عمل می کنند! به عنوان یک قاعده سر انگشتی، یک الگوریتم ساده با داده های زیاد یک الگوریتم هوشمند با داده های اندک راشکست می دهد.البته این خود مساله ی دیگری به دنبال دارد: مساله مقیاس پذیری(scalability). در بیشتر کارهای علوم کامپیوتر دو محدودیت اساسی وجود دارد: زمان و حافظه. در یادگیری ماشین یک عامل دیگر هم اضافه می شود: داده های یادگیری. در دهه 1980 داده بود که مشکل اساسی بود. امروز بیشتر مشکل زمان وجود دارد. مقادیری بسیار بزرگی از داده در اختیار داریم. این منجر به تناقض جالبی می شود: در عمل وقتی داده بیشتر داریم یعنی فرصت یادگیری الگوریتم های پیچیده تر وجود دارند اما در عمل الگوریتم های ساده تر بهتر جواب می دهند. یک دلیل این قضیه این است که الگوریتم های پیچیده تر فایده کمتری از آنچه فکر می کنید دارند و در عمل بیشتر آن ها با یک تخمین درجه یک، یک کار می کنند!مدل های بیشتری را یاد بگیر، نه فقط یک مدل!در روزهای اولیه یادگیری ماشین هر کس یک دسته بند یا روش یادگیری مورد علاقه خودش را داشت که دلایلی هم برای آن داشت. و اگر روشی به خوبی کار نمی کرد یا روش را عوض می کرد یا با تغییر درپارامتر ها آن را متناسب با نیازش عوض می کرد. اما امروزه استفاده از مجموعه ای از دسته بند ها(ensemble of learners) بسیار استاندارد است. در یکی از ساده ترین روش ها به نام bagging به صورت ساده مدل های متفاوت از یادگیر با بخش های مختلف داده می سازیم و در نهایت هنگام دیدن نمونه جدید بین مدل ها یک رای گیری برقرار می کنیم. در روش boosting نمونه های یادگیری وزن داده می شوند و هر الگوریتم بر روی بخش هایی تمرکز می کند که دسته بند قبلی اشتباه دسته بندی کرده بود. روش های زیاد دیگری هم وجود دارند و امروزه روش های عملی و کارا بیشتر به سمت ensemble های بزرگ و بزرگتر میل کرده اند.سادگی لزوما به معنای دقت بیشتر نیستبر اساس اصل تیغ اکام بهتر است برای توضیح پدیده ها بیشتر به دنبال مدل های ساده تر باشیم. اما این لزوما همیشه درست نیست. روش ensemble که در بخش قبل گفتیم مثال نقض آشکار این ادعا است. مثال نقض دیگر ماشین های بردار پشتیبان هستند که عملا بینهایت پارامتر دارند و درعین حال بسیار کارا هستند.همبستگی به معنای علیت نیستهدف اصلی روش های یادگیری ساخت مدل هایی است که بتوانند فراتر از نمونه ها بروند و پیش بینی کنند. در بسیاری از موارد الگوریتم ها تنها همبستگی را می یابند مثلا ممکن است الگوریتم بفهمد که آوردن آبجو به همراه پوشک بچه در فروشگاه به فروش کمک می کند در حالی که واقعا رابطه ای بین آن ها نیست. در بسیاری از مواقع همبستگی نشان از یک علیت دارد اما نه همیشه!بسیاری از محققان باور دارند که علیت چیزی جز یک داستان مفید نیست. به طور مثال هیچ مفهومی از علیت در فیزیک نیست و به این حال فیزیک در توضیح پدیده ها موفق بوده است. به این ترتیب در مورد نتایج یادگیر و تفسیر آن ها همواره محتاط باشید.rohola zandierohola zandieSun, 16 Jan 2022 04:05:36 +0330