واژه Fractional calculus را حساب کسری ترجمه کرده‌اند که گمراه‌کننده است و در نگاه اول به نظر می‌رسد واژه‌ای در حسابداری است. شاید بهتر باشد آن را حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری یا حسابان مرتبه آزاد ترجمه کنیم تا ارتباط آن با حساب دیفرانسیل و انتگرال مشخص شود.
اما Fractional calculus به زبان ساده چیست؟
سال ۱۶۹۵ میلادی یا ۱۰۷۴ خورشیدی، هوپیتال ریاضیدان فرانسوی که ما قاعده هوپیتال وی برای رفع ابهام حد صفر صفرم را از دبیرستان در خاطر داریم نامه‌ای به لایبنیتز که همراه نیوتون بنیانگذار حساب دیفرانسیل و انتگرال است می‌نویسد و سوال ساده ولی بسیار عجیبی را می‌پرسد.
هوپیتال می‌پرسد ما مشتق مرتبه یک را به عنوان نرخ تغییرات تابع در ازای تغییرات بسیار ریز متغیر تعریف کرده‌ایم و هم با تعریف ریاضی و هم تعبیر هندسی آن به صورت خط مماس بر منحنی را آشنا هستیم. کاربردهای آن مانند تعریف سرعت در مکانیک را نیز می‌دانیم.
مشتق مرتبه دوم را هم به عنوان مشتق مشتق تعریف کرده‌ایم و تعبیر هندسی آن برای تشخیص تقعر و تحدب منحنی و کاربردهای آن مانند شتاب در فیزیک را می‌دانیم.
به همین ترتیب می‌توانیم مشتق مرتبه سه و چهار و ... و بطور کلی مشتق مرتبه اعداد طبیعی را تعریف و استفاده کنیم.
آیا مشتق مرتبه نیم یا ۱/۲ هم داریم؟ مشتق مرتبه سه چهارم؟ آیا مرتبه مشتق می‌تواند عددی غیر طبیعی و عددی کسری یا fractional باشد؟ سوای اینکه مثلا مشتق مرتبه ۹/۷ یک تابع چیست، اصلا مشتق مرتبه‌های غیر اعداد طبیعی معنا دارد؟ آیا تعبیر و مفهومی مانند مشتق‌های مرتبه‌های یک و دو و ... می‌توان برای آن پیدا کرد؟
اگر چه توضیح پرسش ساده است اما ابدا پاسخ ساده‌ای ندارد.
سوال ساده هوپیتال آغاز ماجرایی سیصد و چند ساله است. پرسش هوپیتال نظر لایبنیتز را جلب می‌کند و این‌گونه در سیصد سال گذشته تعدادی از ریاضیدانان در پی پاسخ به سوال معنا و کاربرد حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری تلاش بسیار کرده‌اند.
سالها شاخه Fractional calculus از شاخه‌های کمتر شناخته شده ریاضیات بود تا اینکه در چند دهه اخیر تحولات مهمی در آن صورت گرفت و کاربردهای جدیدتری برای آن پیدا شد.
امروز به دلیل نوعی خاصیت تاخیری و حافظه‌دار بودن مشتق‌های مرتبه آزاد استفاده از آن‌ها در بعضی مسایلی که قبل‌تر با مشتق‌های مرتبه طبیعی حل می‌شد ما را به جواب‌های بهتری رسانده است. گروهی استفاده از حسابان مرتبه آزاد در اقتصاد را انقلاب حافظه بعد از انقلاب مارجینال دانسته‌اند. یکی از ضعف‌های استفاده از حسابان مرتبه اعداد صحیح نبود حافظه و تاریخچه است که در مدل‌سازی فرایندها و روابط اقتصادی ضعف بزرگی بود که حسابان مرتبه آزاد می‌تواند این نقص را درمان کند.
گسترش طبیعی دیگری که در این شاخه صورت گرفته است معادلات دیفرانسیل با مرتبه‌های کسری است.
در نوشته قبلی زبان تازه خدا The New Language Of God در مورد اهمیت معادلات دیفرانسیل با مرتبه طبیعی و نقش آن در مدل‌سازی تغییرات که اساس پدیده‌های طبیعی و انسانی است، صحبت کردیم.
معادلات دیفرانسیل مرتبه آزاد عمق و بعد تازه و در مواردی پاسخ‌های دقیق‌تری به بعضی از مسایل قبلی می‌دهد.
